Variation des kinetischen Quark-Terms der QCD-Lagrange-Under-Gauge-Transformation

Der Begriff quadratisch in$g_s$verschwunden, weil wir Transformationen betrachten, die infinitesimal in sind$\alpha$hier werden nur lineare Terme betrachtet.

Das zu sehen$T^a$Und$\gamma^\mu$miteinander kommutieren, können wir die kinetischen Terme schreiben, die die Indizes explizit machen:

$$\tag{1} \bar \psi (i \gamma^\mu \partial_\mu - m ) \psi \equiv \bar \psi_{\alpha,i} (i \gamma^\mu_{\alpha\beta} \delta_{ij} \partial_\mu - m \delta_{\alpha \beta} \delta_{ij}) \psi_{\beta,j},$$ bei dem die $i,j$Indizes sind Flavour-Indizes und stammen aus den Spinorfeldern $\psi$Transformieren Sie unter einer Darstellung (in diesem Fall der Grundwelle) der Eichgruppe (in diesem Fall $SU(3)$). Der $\delta_{ij}$Und $\delta_{\alpha \beta}$Terme sind als Komponenten der Identitätsmatrizen vorhanden, die jeweils auf die Eichgruppe und auf die Spin-Freiheitsgrade wirken. Eine andere Möglichkeit, (1) zu schreiben und über den Index zu summieren $i$und mit der $\delta_{ij}$Begriff, ist: $$\tag{1'} \bar \psi_{\alpha, j} ( i \gamma^\mu_{\alpha \beta} \partial_\mu - m \delta_{\alpha \beta}) \psi_{\beta,j} = 0.$$ Der physikalische Grund für den kinetischen Operator $(i \! \not\! \partial-m)$Diagonal zu den Flavour-Indizes ist, dass sich der Flavour während der Ausbreitung nicht ändert (z. B. entscheidet ein Quark Down nicht von selbst, ein Bottom zu werden , wenn es nicht mit etwas anderem interagiert). Noch eine andere Art zu schreiben (1) , mit der Sie vielleicht vertrauter sind oder nicht, ist $$\tag{1''} i \bar \psi_\alpha^j \gamma^\mu_{\alpha\beta} \partial_\mu \psi_\beta^j - m \bar \psi_{\alpha}^j \psi_{\alpha}^j \equiv i \bar \psi \gamma^\mu \partial_\mu \psi - m \bar \psi \psi = 0.$$

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Expliziert man die Indizes, hat die Eichtransformation die Form:

$$\tag{2} \psi_{\alpha,i}(x) \rightarrow (e^{ i g_s \alpha^a(x) T^a} )_{ij} \psi_{\alpha,j}(x),$$ die nur Terme linear halten $\alpha$wird: $$\tag{3} \psi_{\alpha,i}(x) \rightarrow ( \delta_{ij} + ig_s \alpha^a(x) T^a_{ij}) \psi_{\alpha,j}(x) \equiv \psi_{\alpha,i}(x) + ig_s \alpha^a(x) T^a_{ij} \psi_{\alpha,j}(x),$$ wo es wichtig ist zu beachten, wie die Generatoren $T^a$wirken auf die Aromaindizes $i,j$, nicht auf den Spinor-Indizes $\alpha,\beta$. Sobald Sie die gesamte in den Indizes enthaltene Summe explizit gemacht haben, sind alle verbleibenden Objekte (möglicherweise komplexe) Zahlen, daher pendeln sie alle (mit Ausnahme der Spinorfelder natürlich, die Grassman-Zahlen sind).

Wie wirkt sich das auf Ihre Berechnung aus?

1. Ihr vierter Begriff wird wegen der Reihenfolge vernachlässigt$\mathcal{O}(\alpha^2)$.
2. In Ihrer zweiten Amtszeit wirkt die Ableitung auf beides ein$\alpha$und weiter$\psi$, wobei der Begriff angegeben wird (der Kürze halber gebe ich hier keine Indizes mehr an): $$\tag{4} \bar \psi ( i \gamma^\mu \partial_\mu - m) ig_s \alpha^a T^a \psi = -g_s (\partial_\mu \alpha^a) \bar \psi \gamma^\mu T^a \psi + i g_s \alpha^a \bar \psi ( i \gamma^\mu \partial_\mu - m ) T^a \psi$$
3. Der Begriff umfasst sowohl die$\gamma$und die Generatoren$T^a$(und die Ableitung$\partial_\mu$Einwirken auf$\psi$) hat die Form: $$\tag{5} (i)^2g \alpha^a \bar \psi_{\alpha,i} (\gamma^\mu_{\alpha\beta} T^a_{ij} - T^a_{ij} \gamma^\mu_{\alpha\beta}) \partial_\mu \psi_{\beta,j} = 0,$$ wo, wie ich oben sagte$\gamma^\mu_{\alpha\beta}, T^a_{ij} \in \mathbb{C}$daher pendeln sie.

Siehe auch den Wikipedia-Artikel über die Ableitung der Eichkovariante für ähnliche Berechnungen.