Inneres Produkt von Teilchen-Antiteilchen-Spinorkomponenten

Angenommen, ich habe vierkomponentige Spinoren$\Psi$Und$\bar \Psi$Erfüllung der Dirac-Gleichung mit

$$\Psi(\vec x) = \int \frac{\textrm{d}^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E_{\vec p}}} \sum_{s = \pm \frac{1}{2}} \left[ a^s_p u^s_p e^{i \vec p \cdot \vec x} + \tilde b^s_p v^s_p e^{-i \vec p \cdot \vec x} \right]$$

$$\bar \Psi(\vec x) = \int \frac{\textrm{d}^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E_{\vec p}}} \sum_{s = \pm \frac{1}{2}} \left[ \tilde a^s_p \tilde u^s_p e^{-i \vec p \cdot \vec x} + b^s_p \tilde v^s_p e^{-i \vec p \cdot \vec x} \right] \gamma^0$$

mit diesen Definitionen:

$$\tilde a \equiv a^\dagger \quad ; \quad \gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & 1_2 \\ 1_2 & 0 \end{pmatrix} \quad ; \quad u^s_p = \begin{pmatrix} \sqrt{p \cdot \sigma} \xi^s \\ \sqrt{p \cdot \bar \sigma} \xi^s \end{pmatrix} \quad ; \quad v^s_p = \begin{pmatrix} \sqrt{p \cdot \sigma} \eta^s \\ -\sqrt{p \cdot \bar \sigma} \eta^s \end{pmatrix}$$

$$\sigma = (1_2, \vec \sigma) \quad ; \quad \bar \sigma = (1_2 , - \vec \sigma) \quad ; \quad p = (p_0 , \vec p)$$

Wo$\vec \sigma$ist der übliche Vektor von Pauli-Matrizen und$\xi, \eta$sind Zweikomponenten-Spinoren.

Der Dozent wählt dann eine geeignete Grundlage für$\xi$

$$\xi^1 = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} \quad ; \quad \xi^2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix}$$

und ähnlich für$\eta$so dass$\tilde \xi^r \xi^s = \delta^{rs}$Und$\tilde \eta^r \eta^s = \delta^{rs}$. Dies erscheint sinnvoll und wir können damit verschiedene innere Produkte berechnen$u$Und$v$. In den in den Anmerkungen besprochenen Beispielen werden gemischte Begriffe verwendet, d. h. solche, die Produkte von enthalten$\xi^r$Und$\eta^s$treten nie auf (mit 0 multipliziert, also irrelevant) oder heben sich auf.

In einer Beispielaufgabe sollen wir aber rechnen$\bar \psi(-i \gamma^i \partial_i + m) \psi$was mich dann zu Begriffen wie z

$$\sum_{s,t} 2 m \tilde a^t_p \tilde b^s_{-p} (p_i \sigma^i) \tilde \xi^t \eta^s$$

die sich am Ende auch aufheben, aber zwischenzeitlich die Frage stellen wie$\tilde \xi^t \eta^s$tatsächlich definiert/berechnet werden kann. Die gewonnenen Identitäten ergeben sich aus einer geeigneten Wahl der Basis z$\eta$Und$\xi$'fühl' mich hier falsch, denn schließlich$\xi$kommt von einem Teilchen-Spinor und$\eta$kommt von einem Antiteilchen-Spinor. Ich nehme an, meine Frage könnte umformuliert werden, ob$\xi$Und$\eta$im selben Raum leben oder zwei verschiedenen Räumen angehören (was ihr inneres Produkt zu einer noch aufregenderen Übung machen würde).