Basic QED - Wie werden konservierte Ladungsausdrücke durch Leiteroperatoren abgeleitet?

Ich kann dies in ähnlichen Fragen nicht finden, und mir muss etwas sehr Basales fehlen, da ich dies in keinem Lehrbuch oder keiner Online-Notiz finden kann: Sie überspringen einfach die Passage.

Aus den Notizen meines Kurses haben wir also zum Beispiel ein komplexes Skalarfeld:

$$\phi(x) = \int \dfrac{d^3p}{(2\pi)^3} \dfrac{\sqrt{V}}{\sqrt{2E( \mathbf p)}} \left( a_{(+)} (\mathbf p ) e^{-ipx} + a_{(-)}^{\dagger } (\mathbf p ) e^{ipx} \right)$$

$$\phi^{*}(x) = \int \dfrac{d^3p}{(2\pi)^3} \dfrac{\sqrt{V}}{\sqrt{2E( \mathbf p)}} \left( a_{(+)}^{\dagger } (\mathbf p ) e^{ipx} + a_{(-)} (\mathbf p ) e^{-ipx} \right)$$

und aus dem freien$S_0 = \int d^4x \left( \partial_\mu \phi^*(x) \partial^\mu \phi(x) - m^2 \phi^*(x) \phi(x) \right)$mit dem Satz von Noether für U(1) erhalten wir

$$J^\mu(x) = i \left(\phi^*(x) \partial^\mu\phi(x) - \partial^\mu \phi^* (x) \phi(x) \right)$$

$$Q = \int d^3x J^0(x)$$

FRAGE

Also, wie gehe ich vor

$$Q = i \int d^3x \dfrac{d^3p \ d^3q}{(2\pi)^6} \dfrac{V}{2\sqrt{E( \mathbf p)E( \mathbf q)}} \cdot \\ \cdot \left[ \left( a_{(+)}^{\dagger } (\mathbf p ) e^{ipx} + a_{(-)} (\mathbf p ) e^{-ipx} \right) \ iE(\mathbf q) \left( - a_{(+)} (\mathbf q ) e^{-iqx} + a_{(-)}^{\dagger } (\mathbf q ) e^{iqx} \right) + \\ - iE(\mathbf p) \left( a_{(+)}^{\dagger } (\mathbf p ) e^{ipx} - a_{(-)} (\mathbf p ) e^{-ipx} \right) \left( a_{(+)} (\mathbf q ) e^{-iqx} + a_{(-)}^{\dagger } (\mathbf q ) e^{iqx} \right) \right]$$

Zu?

$$Q = \int d^3p \dfrac{V}{(2\pi)^3} \left( a_{(+)}^{\dagger } (\mathbf p ) a_{(+)}(\mathbf p ) - a_{(-)}^{\dagger } (\mathbf p ) a_{(-)}(\mathbf p ) \right)$$

Welche mathematischen Formeln muss ich mindestens verwenden?