Lösung der Dirac-Gleichung: beliebige Polarisationen

In meinem Vorlesungsskript (Signatur$-+++$) finden wir die freien Dirac-Gleichungslösungen. Wir gehen so vor:

Dirac-Gleichung:

$$(i\,\displaystyle{\not} p +m)\psi(x) = 0$$

Wir machen folgenden Ansatz:

$$\psi_p(x) \sim \omega(p) e^{ip\mu x^\mu}$$

mit der Polarisierung

$$\omega(p) = \left( \begin{array}{c} w_1(p)\\ w_2(p)\\ w_3(p)\\ w_4(p)\\ \end{array} \right)$$

Für ein ruhendes Teilchen:$p^\mu=(E,0,0,0)$, indem wir den Ansatz einsetzen, erhalten wir

$E\, \omega(p) = m\beta\, \omega(p)$ $\, \, \,$mit$\beta = i \gamma^0 = \,\left(\begin{matrix} \mathbb{1}_2 & 0 \\ 0 & -\mathbb{1}_2 \end{matrix}\right)$

Deshalb

$$E \,\omega(p) \, = \, \left(\begin{matrix}m & 0 & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -m & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -m\end{matrix}\right) \omega(p)$$

Dann heißt es, dass wir zwei Lösungen haben$\psi_{1,2}$für positive Energie$E=m$und zwei Lösungen$\psi_{3,4}$für negative Energie, die sind

$\psi_1(x) \sim \left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{array} \right) e^{-imt} \, ;\quad \psi_2(x) \sim \left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ \end{array} \right) e^{-imt} \, ;\quad \psi_3(x) \sim \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ \end{array} \right) e^{imt} \, ;\quad \psi_4(x) \sim \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ \end{array} \right) e^{imt}$

Was ich jetzt nicht verstehe, ist die Wahl der Polarisationen, ist sie willkürlich oder folgt sie aus etwas in der obigen Diskussion? Warum haben sie diese Form?

Vielen Dank im Voraus für jede Antwort, ich weiß, das ist vielleicht eine dumme Frage, aber ich verstehe es einfach nicht.

Und noch eine Frage, warum$\omega$heißt Polarisierung? Hängt es mit der Polarisation einer elektromagnetischen Welle zusammen?