Ein Schritt in der Ableitung des magnetischen Moments des Elektrons in Zees QFT-Buch

In Kapitel III.6 seiner Quantum Field Theory in a Nutshell macht sich A. Zee daran, das magnetische Moment eines Elektrons in der Quantenelektrodynamik herzuleiten. Er beginnt damit, in der Dirac-Gleichung die Ableitung zu ersetzen$\partial_\mu$durch die kovariante Ableitung$D_\mu = \partial_\mu - i e A_\mu$, Wo$A_\mu$ist ein (klassisches) äußeres elektromagnetisches Feld. Wir haben

$$(i \gamma^\mu D_\mu - m) \psi ~=~ 0.$$ Daraus leitet er ab $$\left(D_\mu D^\mu - \frac{e}{2} \sigma^{\mu \nu} F_{\mu\nu} + m^2\right) \psi~=~ 0,$$ wo, wie immer, $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$Und $\sigma^{\mu \nu}$sind die Kommutatoren des Dirac $\gamma$Matrizen: $$\sigma^{\mu \nu}=\frac{i}{2}[\gamma^\mu, \gamma^\nu].$$

Mein Problem befasst sich mit einem scheinbar einfachen Schritt, den Zee in der Ableitung verwendet. Er behauptet dass

$$(i/2) \sigma^{\mu \nu}[D_\mu, D_\nu] = (e/2) \sigma^{\mu \nu} F_{\mu\nu}.$$ Allerdings bekomme ich $$[D_\mu, D_\nu] = -ie\partial_\mu A_\nu + ie\partial_\nu A_\mu -ieA_\mu\partial_\nu + ie A_\nu \partial_\mu = -ieF_{\mu\nu} -ie A_\mu\partial_\nu + ie A_\nu \partial_\mu,$$ aber ich verstehe jetzt nicht, warum die letzten beiden Terme verschwinden, wenn sie mit multipliziert werden $\sigma^{\mu \nu}$. Ich habe sogar versucht, die expliziten Ausdrücke für zu verwenden $\sigma^{\mu \nu}$und bekam einen Wert ungleich Null. Ich habe das Gefühl, dass mir hier etwas ganz Einfaches fehlt. Sieht jemand was ich falsch gemacht habe?