Beziehung zwischen Dirac Spinor und seinem Adjunkten

Ich versuche erfolglos, das folgende Problem in Thomsons Modern Particle Physics zu lösen :

"Ab

( γ μ P μ − M ) u = 0 ,

Zeigen Sie, dass die entsprechende Gleichung für den adjungierten Spinor lautet

u ¯ ( γ μ P μ − M ) = 0.

Daher, ohne die explizite Form für die zu verwenden u Spinoren, zeigen, dass die Normalisierungsbedingung u † u = 2 E führt zu

u ¯ u = 2 M

und das

u ¯ γ μ u = 2 P μ . "

Hier, u ist eine freie Teilchenlösung der Dirac-Gleichung (auf der Grundlage des Impulses, also hier die P μ sind c-Nummern) und u ¯ = u † γ 0 ist wie üblich sein angrenzender Spinor. Die Gleichung für den adjungierten Spinor lässt sich sehr einfach ableiten, indem man einfach die hermiteschen Konjugierten beider Seiten der Dirac-Gleichung nimmt, aber für mein Leben kann ich die letzten beiden Gleichungen nicht a priori ableiten. Ich habe alle möglichen Substitutionen und Tricks ohne Erfolg versucht. Könnte mich jemand in die richtige Richtung führen?

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Herausgefunden. Wenn ich schreibe

u ¯ γ μ u = 1 M u ¯ γ μ γ v P v u = 1 M u ¯ ( { γ μ , γ v } − γ v γ μ ) P v u = 1 M u ¯ ( 2 G μ v − γ v γ μ ) P v u = 2 M u ¯ u P μ − 1 M u ¯ γ v P v γ μ u = 2 M u ¯ u P μ − u ¯ γ μ u

Ich kann neu anordnen, um die Beziehung zu erhalten

u ¯ γ μ u = 1 M u ¯ u P μ

Insbesondere,

1 M u ¯ u P 0 = E M u ¯ u = u ¯ γ 0 u = u † u = 2 E

Dann kann ich auflösen u ¯ u Und u ¯ γ μ u .

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