CPT-Invarianz der Dirac-Gleichung

Um dies zu zeigen, finden Sie heraus, wie die Transformationen$C, P, T$auf jedes Element in der Gleichung einzeln einwirken.

Achten Sie besonders auf$C$. Das ist eine schwierige Frage! Für einen Einstieg in C können Sie sich diesen Physik-SE-Beitrag ansehen .

Hier ist ein kniffliger Weg, um zu zeigen, dass die Dirac-Darstellung unter C,P,T-Transformationen invariant ist. Die freie Dirac-Theorie bezieht sich auf die direkte Summe$\left( 0 , \frac{1}{2}\right) \oplus \left( \frac{1}{2}, 0 \right)$der irreduziblen Spinordarstellungen der Lorentz-Gruppe. Wie gezeigt werden kann, ist die Repräsentation$\left(\frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right) \oplus \left(\frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right)$ist immer invariant unter C-, P-, T-Transformationen. Sie müssen also nicht die explizite Form von finden$C, P, T$-Matrizen für die Dirac-Theorie, wenn Sie die Spinor-Darstellung der Lorentz-Gruppe kennen.

Der kurze Beweis der Invarianz von $\left( \frac{m}{2} , \frac{n}{2}\right) \oplus \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2} \right)$ unter diskreten Transformationen der Lorentzgruppe

Der Beweis ist natürlich sehr formal. In wenigen Worten,

Die Spinor-Darstellung der Lorentz-Gruppe beinhaltet zwei Casimir-Operatoren,

$$C_{1} = M_{ab}M^{ab}, \quad C_{2} = M^{\dot {a} \dot {b}}M_{\dot b \dot a}.$$ Hier die Generatoren der Spinordarstellung des Lorentz $M_{ab}, M_{\dot a \dot b}$verbunden sind $M_{\mu \nu}$(der Vektorgenerator der Lorentz-Gruppe) durch die bestimmte Beziehung (hier ist es nicht wichtig, was genau diese Beziehung ist): $$\tag 1 C_{1}\left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right) = -\frac{n(n + 2)}{2}\left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right),$$ $$\tag 2 C_{2}\left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right) = -\frac{m(m + 2)}{2}\left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right).$$ Dann können wir die allgemeinen Operatoren von einführen $T, P, C$-Inversion durch ihre (Anti-) Kommutatoren mit der $M_{ab}, M_{\dot {a}, \dot {b}}$(was durch ihre klaren (Anti-) Kommutatoren mit getan werden kann $M_{\mu \nu}$). Endlich, $$\hat{T}C_{1} = C_{2}\hat {T}, \quad \hat {P}C_{1} = C_{2}\hat {P}, \hat {T}C_{2} = C_{1}\hat {T}, \quad \hat {P}C_{2} = C_{1}\hat {P}.$$ und ähnliches für $C$-Umkehrung.

Also beim Handeln$(1)$,$(2)$von$C, P$oder$T$Operatoren erhalten wir (zum Beispiel by$\hat {P}$)

$$\tag 3 C_{1}\hat {P}\left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right) =-\frac{m(m + 2)}{2}\hat {P}\left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right),$$ $$\tag 4 C_{2}\hat {P}\left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right) =-\frac{n(n + 2)}{2}\hat {P}\left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right).$$ Das sehen wir also $\hat {P}$Einwirken auf $\left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right)$ändert es in $\left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right)$, also im Allgemeinen (außer dem Fall $m = n$) $\left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right)$ist nicht unveränderlich unter $C, P, T$-Verwandlungen. Aber die direkte Summe $\left( 0 , \frac{1}{2}\right) \oplus \left( \frac{1}{2}, 0 \right)$(insbesondere) ist invariant, weil $$\hat {P}\left(\left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right) \oplus \left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right) \right) = \left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right) \oplus \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right)$$ (es hat sich nichts geändert).