Ladungskonjugation in der Dirac-Gleichung

Die Dirac-Gleichung für ein geladenes Teilchen$e$ist

$$\left[\gamma^\mu (i\partial_\mu - e A_\mu) - m \right] \psi = 0$$ Wir wollen wissen, ob wir einen Spinor konstruieren können $\psi^c$mit der entgegengesetzten Ladung aus $\psi$. Dies würde der Gleichung gehorchen $$\left[\gamma^\mu (i\partial_\mu + e A_\mu) - m \right] \psi^c = 0$$ Wenn Sie sich mit Messgerättransformationen auskennen $$\psi \rightarrow \exp\left( i e \phi\right) \psi$$ (zusammen mit der kompensierenden Transformation für $A_\mu$, die wir hier nicht brauchen), deutet dies darauf hin, dass eine komplexe Konjugation das Richtige ist: $$\psi^\star \rightarrow \exp\left( i (-e) \phi\right) \psi^\star$$ So sieht es aus $\psi^\star$hat die entgegengesetzte Ladung. Nehmen wir die komplexe Konjugierte der Dirac-Gleichung: $$\left[-\gamma^{\mu\star} (i\partial_\mu + e A_\mu) - m \right] \psi^\star = 0$$ Leider ist dies nicht das, was wir wollen. Aber denken Sie daran, dass Spinoren und $\gamma$Matrizen sind nur bis auf einen Basiswechsel definiert $\psi \rightarrow S \psi$und $\gamma^\mu \rightarrow S \gamma^\mu S^{-1}$. Möglicherweise finden wir einen Basiswechsel, der die Dirac-Gleichung in die gewünschte Form bringt. Führen Sie eine invertierbare Matrix ein $C$indem du links multiplizierst und einfügst $1 = C^{-1}C$(beachten Sie, dass $C$ist die gebräuchlichere Schreibweise für Ihr $\tilde{U}$): $$\begin{array}{lcl} 0 &= & C \left[-\gamma^{\mu\star} (i\partial_\mu + e A_\mu) - m \right] C^{-1} C\psi^\star \\ &= & \left[-C\gamma^{\mu\star}C^{-1} (i\partial_\mu + e A_\mu) - m \right] C\psi^\star \end{array}$$

Beachten Sie, dass, wenn wir a finden können$C$der gehorcht$-C\gamma^{\mu\star}C^{-1} = \gamma^\mu$dann$C\psi^\star$ist ein perfekter Kandidat für$\psi^c$! Es stellt sich heraus, dass man tatsächlich konstruieren kann$C$die Bedingung erfüllen und Ladungskonjugation definieren als

$$\psi \rightarrow \psi^c = C\psi^\star$$

Sie können dies expliziter in Bezug auf zwei Komponenten-Spinoren in der Weyl-Basis sehen:

$$\psi = \left( \begin{matrix} \chi_\alpha \\ \eta^{\dagger}_{\dot{\alpha}} \end{matrix} \right)$$ (Die Notation folgt dem Wälzer zum Thema ). Der ladungskonjugierte Spinor in dieser Darstellung ist $$\psi^c = \left( \begin{matrix} \eta_\alpha \\ \chi^{\dagger}_{\dot{\alpha}} \end{matrix} \right)$$ Ladungskonjugation ist also $$\eta \leftrightarrow \chi$$ Diese Darstellung hebt explizit die beiden entgegengesetzt geladenen Komponenten des Dirac-Spinors hervor, $\eta$und $\chi$, und zeigt, dass die Ladungskonjugation wirkt, indem sie sie vertauscht.

Zur Erinnerung: Wir wollen eine Ladungskonjugationsoperation so definieren, dass gegeben a$\psi$mit etwas elektrischer Ladung$e$, wir können ein bekommen$\psi^c$mit Gebühr$-e$. Die komplexe Konjugation der Dirac-Gleichung bringt uns dorthin, aber der resultierende Spinor$\psi^\star$hat eine andere Spinorbasis, also ist die Dirac-Gleichung nicht in Standardform. Wir führen einen Basiswechsel ein$C$um die Dirac-Gleichung wieder in Standardform zu bringen. Die notwendigen Bedingungen dafür sind die$C$ist invertierbar (sonst wäre es kein Basiswechsel und schlimme Dinge würden passieren) und$-C\gamma^{\mu\star}C^{-1} = \gamma^\mu$.

Der Schlüssel hier ist, dass die Gammamatrizen durch ihre Kommutierungsbeziehungen gegeben sind und diese keine eindeutige Darstellung für die Matrizen bestimmen.

Wenn Sie von der Dirac-Gleichung ausgehen

$$\gamma^\mu (i\partial_\mu - e A_\mu) \Psi = m \Psi$$

und führen Sie die folgende generische Transformation durch$\Psi = U \Psi'$mit$U$eine konstante Matrix mit Inverse$UU^{-1}=1$die Gleichung wird

$$\gamma^\mu U (i\partial_\mu - e A_\mu) \Psi' = m U \Psi'$$

Multiplizieren mit der inversen Matrix

$$U^{-1} \gamma^\mu U (i\partial_\mu - e A_\mu) \Psi' = m \Psi'$$

dies entspricht der ursprünglichen Gleichung if$\gamma^\mu{'} = U^{-1} \gamma^\mu U$. Diese Beziehung garantiert, dass die neuen Matrizen die gleichen Vertauschungsbeziehungen erfüllen wie das Original.

In Bezug auf den speziellen Fall der Ladungskonjugation denke ich, dass der grundlegendste Ansatz das CPT-Theorem verwendet. In diesem Fall ist Parität trivial, daher bleibt es Ladungskonjugation (C) und Zeitumkehrung (T). Die Dirac-Gleichung ist invariant, wenn sowohl das Vorzeichen der Ladung als auch die Zeit umgekehrt werden. Dies ist die Grundlage für Stuckelbergs Feynman-Interpretation von Antiteilchen als zeitlich rückwärts reisende Teilchen.