Unitäre Lorentz-Transformation auf quantisiertem Dirac-Spinor

Question

Unitäre Lorentz-Transformation auf quantisiertem Dirac-Spinor

Physik
Spinoren
Dirac-Gleichung
Poincare-Symmetrie
Spezielle Relativität
Quantenfeldtheorie

Jäger

Ich stecke wieder auf Seite 59 von Peskin und Schroeder fest. Insbesondere weiß ich nicht, wie sie Gleichung (3.110) erhalten. Lassen Sie mich zunächst einige Hintergrundinformationen geben, so wie ich es verstehe (aber ich könnte völlig falsch liegen).

Ein einheitlicher Operator $U(\Lambda)$ wirkt auf Zustände wie folgt:

| P, S ⟩ \to U (Λ) | P, S ⟩

$\begin{equation} |p,s\rangle \rightarrow U(\Lambda)|p,s\rangle \end{equation}$ und daher transformiert sich jeder Operator, wie z. B. ein Dirac-Feld, wie folgt:

ψ^{'} (X) = U (Λ) ψ (X) U^{- 1} (Λ)

$\begin{equation} \psi'(x) = U(\Lambda)\psi(x)U^{-1}(\Lambda) \end{equation}$ Nun gilt aus Gleichung (3.109):

U (Λ) A_{P}^{S} U^{- 1} (Λ) = \sqrt{\frac{E_{Λ P}}{E_{P}}} A_{Λ P}^{S}

$\begin{equation} U(\Lambda) a_p^s U^{-1}(\Lambda) = \sqrt{\frac{E_{\Lambda p}}{E_p}}a^s_{\Lambda p} \end{equation}$ wir können die Transformation der positiven Frequenzlösung von finden

ψ

$\psi$ :

U (Λ) ψ U^{- 1} (Λ) = U (Λ) \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 E_{P}}} \sum_{S} A_{P}^{S} u^{S} (P) e^{- ich P \cdot X} U^{- 1} (Λ)

$\begin{equation} U(\Lambda) \psi U^{-1}(\Lambda) = U(\Lambda) \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E_p}} \sum_s a_p^s u^s(p) e^{-ip\cdot x} U^{-1}(\Lambda) \end{equation}$

\Rightarrow U (Λ) ψ U^{- 1} (Λ) = \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 E_{P}}} \sum_{S} U (Λ) A_{P}^{S} U^{- 1} (Λ) U (Λ) u^{S} (P) U^{- 1} (Λ) e^{- ich P \cdot X}

$\begin{equation} \Rightarrow U(\Lambda) \psi U^{-1}(\Lambda) = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E_p}} \sum_s U(\Lambda) a_p^s U^{-1} (\Lambda) U(\Lambda) u^s(p)U^{-1}(\Lambda) e^{-ip\cdot x} \end{equation}$ und unter Verwendung von Gleichung (3.109) wird dies zu:

\Rightarrow U (Λ) ψ U^{- 1} (Λ) = \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} \frac{1}{2 E_{P}} \sqrt{2 E_{Λ P}} \sum_{S} A_{Λ P}^{S} U (Λ) u^{S} (P) U^{- 1} (Λ) e^{- ich P \cdot X}

$\begin{equation} \Rightarrow U(\Lambda) \psi U^{-1}(\Lambda) = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{2 E_p}\sqrt{2 E_{\Lambda p}} \sum_s a^s_{\Lambda p} U(\Lambda) u^s(p)U^{-1}(\Lambda) e^{-ip\cdot x} \end{equation}$ und von diesem Punkt an habe ich keine Ahnung, wie ich zu Gleichung (3.110) komme. Wenn mich jemand in die richtige Richtung schubsen könnte, dann wird dies sehr geschätzt. (Mir ist bewusst, dass das Integrationsmaß Lorentz-invariant ist.)

Eine andere Frage: Hat jemand andere Referenzen/Notizen/Bücher, in denen diskutiert wird, wie sich das quantisierte Dirac- Operatorfeld transformiert? Ich finde die P&S-Erklärung völlig verwirrend (wie vielleicht aus den Fragen klar geworden ist, die ich kürzlich in diesem Forum gestellt habe :) ), aber ich kann kein anderes Buch finden, das dieses Zeug behandelt.

Jia Yiyang

Das Umwandlungsgesetz

A \to A = U (Λ) A U^{- 1} (Λ)

$A \rightarrow A = U(\Lambda) A U^{-1}(\Lambda)$ ist für Betreiber, aber

u_{s} (p)

$u_s(p)$ ist kein Operator, sondern der Koeffizient vor Erzeugungs- oder Vernichtungsoperatoren.

Jäger

@JiaYiyang danke, dass du mich korrigiert hast! Ich habe den Beitrag jetzt bearbeitet; hoffentlich ist es jetzt besser.

JoshPhysik

Haben Sie gelesen, dass die Autoren zwischen 109 und 110 sagen? In Ihrer letzten Gleichung, der

U u U^{- 1}

$UuU^{-1}$ ist nur

u

$u$ seit

u

$u$ ist nur eine Zahl. Dann einfach eine Variablenänderung durchführen

\tilde{p} = Λ p

$\tilde p = \Lambda p$ wie sie sagen.

Jäger

Danke für deine Antwort. Können Sie mir bitte erklären warum

u^{s} (p)

$u^s(p)$ ist nur eine Zahl? Ich dachte, es wäre ein Dirac-Spinor (4-Komponenten-Vektor), von dem auch abhängig ist

p

$p$ (und daher würde ich denken, dass eine Lorentz-Transformation es beeinflussen würde). Arbeiten unter der Annahme, dass

u^{s} (p)

$u^s(p)$ nur eine Zahl ist, dann sehe ich, wie ich zu folgendem komme:

Jäger

U (Λ) ψ U^{- 1} (Λ) = \int \frac{d^{3} \tilde{p}}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 E_{\tilde{p}}}} \sum_{s} a_{\tilde{p}}^{s} u^{s} (Λ^{- 1} \tilde{p}) e^{- i \tilde{p} \cdot Λ x}

$U(\Lambda) \psi U^{-1}(\Lambda) = \int \frac{d^3 \tilde{p}}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E_{\tilde{p}}}} \sum_s a^s_{\tilde{p}} u^s(\Lambda^{-1} \tilde{p}) e^{-i\tilde{p}\cdot \Lambda x}$ . Allerdings verstehe ich nicht warum

u^{s} (Λ^{- 1} \tilde{p}) = Λ_{1 / 2}^{- 1} u^{s} (\tilde{p})

$u^s(\Lambda^{-1} \tilde{p}) = \Lambda_{1/2}^{-1}u^s(\tilde{p})$ . Haben sie das irgendwo in ihrem Buch hergeleitet? Oder kann ich es ableiten, indem ich infinitesimale Transformationen von betrachte

Λ_{1 / 2}^{- 1}

$\Lambda_{1/2}^{-1}$ ? Oder fehlt mir noch etwas?

JoshPhysik

Ich war schematisch. Für jede

s

$s$ und jede

p

$p$ , das Symbol

u^{s} (p)

$u^s(p)$ ist eine Zahl auf die gleiche Weise wie die Komponenten

E^{i} (x)

$E^i(x)$ des elektrischen Feldes sind jeweils Zahlen

i

$i$ Und

x

$x$ . Was die andere Tatsache betrifft, bin ich mir nicht sicher, ob sie es irgendwo in dem Buch beweisen, aber das ist die Art von Denken, die Sie wirklich versuchen sollten, selbst zu beweisen. Ich würde denken, Sie sollten sich nicht auf infinitesimale Transformationen berufen müssen, aber ich habe nicht versucht, es selbst zu beweisen. Probieren Sie es aus, und ich würde vorschlagen, eine andere Frage zu stellen, wenn Sie es nicht herausfinden können.

Jäger

@joshphysics danke, du gibst mir viele Denkanstöße. Ich werde versuchen, eine Lösung zu finden, oder vielleicht werde ich es verschieben, bis ich mit Weinberg beginne. Ich möchte Ihnen noch eine Frage zum Warum stellen

[U (Λ), u^{s} (p)] = 0

$[U(\Lambda),u^s(p)]=0$ . Es tut mir leid, wenn das trivial ist, aber ich verstehe nicht warum

u^{s} (p)

$u^s(p)$ ist eine Zahl für ein Gegebenes

p

$p$ Und

s

$s$ (obwohl ich verstehe, warum das so ist

E^{i} (x)

$E^i(x)$ ). Das hielt ich für gegeben

s

$s$ Und

p

$p$ ,

u^{s} (p)

$u^s(p)$ ist immer noch ein Spaltenvektor mit vier Komponenten. Der einzige Grund, warum ich erraten könnte, warum sie pendeln, ist, weil

u^{s} (p)

$u^s(p)$ "wohnt" in einem anderen Raum als dort, wo die

Jäger

Matrix

U (Λ)

$U(\Lambda)$ wirkt auf. Stimmt das oder rede ich Unsinn?

JoshPhysik

Nein, Sie haben vollkommen Recht; Ich war schlampig, und so sind Peskin und Shroeder mit ihrer Notation. Sie sollten wirklich einen Spinor-Index schreiben

ψ

$\psi$ damit die Transformation lautet

U (Λ) ψ^{α} (x) U^{- 1} (Λ) = (Λ_{\frac{1}{2}}^{- 1})_{β}^{α} ψ^{β} (Λ x)

$U(\Lambda)\psi^\alpha(x)U^{-1}(\Lambda) = (\Lambda_{\frac{1}{2}}^{-1})^\alpha_{\phantom\alpha\beta}\psi^\beta(\Lambda x)$ . Was sie geschrieben haben, ist nur eine Abkürzung für diesen vollständigen Ausdruck. Dies bedeutet, dass Sie im Integral haben werden

(u^{s} (p))^{α}

$(u^s(p))^\alpha$ das sind Zahlen, und dann läuft die Berechnung wie gewünscht ab.

Jäger

Danke, Mann! Das klärt für mich einiges und macht Sinn. Das einzige, was ich an dieser Stelle nicht verstehe, ist, warum

u^{s} (Λ^{- 1} \tilde{p}) = Λ_{1 / 2}^{- 1} u^{s} (\tilde{p})

$u^s(\Lambda^{-1} \tilde{p}) = \Lambda_{1/2}^{-1} u^s(\tilde{p})$ , aber ich werde alleine daran arbeiten, und wenn ich es nicht herausfinden kann, werde ich es als separate Frage stellen. Beifall

JoshPhysik

Kein Problem. Beifall! Übrigens, es sei denn, Sie kommentieren den Poster einer Frage oder Antwort, Sie sollten @Benutzername angeben. Andernfalls erhält er/sie keine Benachrichtigung über den Kommentar.

Feuerstein72

@Hunter hast du herausgefunden warum

u^{s} (Λ^{- 1} p^{'}) = Λ_{\frac{1}{2}} u^{s} (p^{'})

$u^s(\Lambda^{-1} {p'}) = \Lambda_{\frac{1}{2}} u^s(p')$ ? Ich habe es eigentlich erst vor einer Stunde selbst als neue Frage gestellt. Dann fand ich diese, als ich alte Fragen durchsuchte und auf eine Antwort wartete. Als ich (3.110) in deiner Beschreibung sah, wusste ich sofort, worum es gehen würde!

Jäger

@ Flint72 haha, nein, ich habe es nie herausgefunden. Als ich Ihre Frage gesehen habe, habe ich sie sofort mit einem Lesezeichen versehen, aber es scheint, dass Robin Ekman eine nette Antwort gegeben hat (obwohl ich sie gründlicher durchgehen muss). Es ist unglaublich, wie P&S manchmal einfach Formeln ohne Erklärung aufschreiben.

Antworten (1)

Unitäre Lorentz-Transformation auf quantisiertem Dirac-Spinor

Das Umwandlungsgesetz $A \rightarrow A = U(\Lambda) A U^{-1}(\Lambda)$ ist für Betreiber, aber $u_s(p)$ ist kein Operator, sondern der Koeffizient vor Erzeugungs- oder Vernichtungsoperatoren.
@JiaYiyang danke, dass du mich korrigiert hast! Ich habe den Beitrag jetzt bearbeitet; hoffentlich ist es jetzt besser.
Haben Sie gelesen, dass die Autoren zwischen 109 und 110 sagen? In Ihrer letzten Gleichung, der $UuU^{-1}$ ist nur $u$ seit $u$ ist nur eine Zahl. Dann einfach eine Variablenänderung durchführen $\tilde p = \Lambda p$ wie sie sagen.
Danke für deine Antwort. Können Sie mir bitte erklären warum $u^s(p)$ ist nur eine Zahl? Ich dachte, es wäre ein Dirac-Spinor (4-Komponenten-Vektor), von dem auch abhängig ist $p$ (und daher würde ich denken, dass eine Lorentz-Transformation es beeinflussen würde). Arbeiten unter der Annahme, dass $u^s(p)$ nur eine Zahl ist, dann sehe ich, wie ich zu folgendem komme:
$U(\Lambda) \psi U^{-1}(\Lambda) = \int \frac{d^3 \tilde{p}}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E_{\tilde{p}}}} \sum_s a^s_{\tilde{p}} u^s(\Lambda^{-1} \tilde{p}) e^{-i\tilde{p}\cdot \Lambda x}$ . Allerdings verstehe ich nicht warum $u^s(\Lambda^{-1} \tilde{p}) = \Lambda_{1/2}^{-1}u^s(\tilde{p})$ . Haben sie das irgendwo in ihrem Buch hergeleitet? Oder kann ich es ableiten, indem ich infinitesimale Transformationen von betrachte $\Lambda_{1/2}^{-1}$ ? Oder fehlt mir noch etwas?
Ich war schematisch. Für jede $s$ und jede $p$ , das Symbol $u^s(p)$ ist eine Zahl auf die gleiche Weise wie die Komponenten $E^i(x)$ des elektrischen Feldes sind jeweils Zahlen $i$ Und $x$ . Was die andere Tatsache betrifft, bin ich mir nicht sicher, ob sie es irgendwo in dem Buch beweisen, aber das ist die Art von Denken, die Sie wirklich versuchen sollten, selbst zu beweisen. Ich würde denken, Sie sollten sich nicht auf infinitesimale Transformationen berufen müssen, aber ich habe nicht versucht, es selbst zu beweisen. Probieren Sie es aus, und ich würde vorschlagen, eine andere Frage zu stellen, wenn Sie es nicht herausfinden können.
@joshphysics danke, du gibst mir viele Denkanstöße. Ich werde versuchen, eine Lösung zu finden, oder vielleicht werde ich es verschieben, bis ich mit Weinberg beginne. Ich möchte Ihnen noch eine Frage zum Warum stellen $[U(\Lambda),u^s(p)]=0$ . Es tut mir leid, wenn das trivial ist, aber ich verstehe nicht warum $u^s(p)$ ist eine Zahl für ein Gegebenes $p$ Und $s$ (obwohl ich verstehe, warum das so ist $E^i(x)$ ). Das hielt ich für gegeben $s$ Und $p$ , $u^s(p)$ ist immer noch ein Spaltenvektor mit vier Komponenten. Der einzige Grund, warum ich erraten könnte, warum sie pendeln, ist, weil $u^s(p)$ "wohnt" in einem anderen Raum als dort, wo die
Matrix $U(\Lambda)$ wirkt auf. Stimmt das oder rede ich Unsinn?
Nein, Sie haben vollkommen Recht; Ich war schlampig, und so sind Peskin und Shroeder mit ihrer Notation. Sie sollten wirklich einen Spinor-Index schreiben $\psi$ damit die Transformation lautet $U(\Lambda)\psi^\alpha(x)U^{-1}(\Lambda) = (\Lambda_{\frac{1}{2}}^{-1})^\alpha_{\phantom\alpha\beta}\psi^\beta(\Lambda x)$ . Was sie geschrieben haben, ist nur eine Abkürzung für diesen vollständigen Ausdruck. Dies bedeutet, dass Sie im Integral haben werden $(u^s(p))^\alpha$ das sind Zahlen, und dann läuft die Berechnung wie gewünscht ab.
Danke, Mann! Das klärt für mich einiges und macht Sinn. Das einzige, was ich an dieser Stelle nicht verstehe, ist, warum $u^s(\Lambda^{-1} \tilde{p}) = \Lambda_{1/2}^{-1} u^s(\tilde{p})$ , aber ich werde alleine daran arbeiten, und wenn ich es nicht herausfinden kann, werde ich es als separate Frage stellen. Beifall
Kein Problem. Beifall! Übrigens, es sei denn, Sie kommentieren den Poster einer Frage oder Antwort, Sie sollten @Benutzername angeben. Andernfalls erhält er/sie keine Benachrichtigung über den Kommentar.
@Hunter hast du herausgefunden warum $u^s(\Lambda^{-1} {p'}) = \Lambda_{\frac{1}{2}} u^s(p')$ ? Ich habe es eigentlich erst vor einer Stunde selbst als neue Frage gestellt. Dann fand ich diese, als ich alte Fragen durchsuchte und auf eine Antwort wartete. Als ich (3.110) in deiner Beschreibung sah, wusste ich sofort, worum es gehen würde!
@ Flint72 haha, nein, ich habe es nie herausgefunden. Als ich Ihre Frage gesehen habe, habe ich sie sofort mit einem Lesezeichen versehen, aber es scheint, dass Robin Ekman eine nette Antwort gegeben hat (obwohl ich sie gründlicher durchgehen muss). Es ist unglaublich, wie P&S manchmal einfach Formeln ohne Erklärung aufschreiben.

Okazaki · Answer 1

Das Umwandlungsgesetz finden Sie z $u^s(p)$ indem Sie fordern, dass sich das Spinorfeld als transformiert

$\psi(x)\rightarrow \psi'(x')=U^{-1}(\Lambda)\psi(x')U(\Lambda)=\Lambda_{1/2}\psi(x)$ .

Sie wissen bereits, wie sich die Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren unter der Bedingung transformieren, dass sich die 1-Teilchen-Zustände korrekt transformieren, und können dann das richtige Transformationsgesetz dafür finden $u^s(p)$ . Dann können Sie mit diesem Transformationsgesetz die Transformation in die entgegengesetzte Richtung durchführen (was Peskin und Schroeder tun) und Sie erhalten ihr Ergebnis.

Insbesondere haben wir

$U^{-1}(\Lambda)\psi(x')U(\Lambda)=\displaystyle\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_p}}U^{-1}(\Lambda)a^{s\dagger}_pU(\Lambda)u^s(p)e^{ip.\Lambda x} +$ ähnliche Begriffe

wobei ich die Summation und den anderen Operator ignoriert habe, da es analog dazu ist.

Ändern der Dummy-Variablen $p$ Zu $\Lambda p$ wir bekommen

$U^{-1}(\Lambda)\psi(x')U(\Lambda)=\displaystyle\int\frac{d^3\Lambda p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_\Lambda p}}U^{-1}(\Lambda)a^{s\dagger}_{\Lambda p}U(\Lambda)u^s(\Lambda p)e^{ip. x}$

seit $(\Lambda p)(\Lambda x)$ = $px$

Wir haben auch $U^{-1}(\Lambda)a^{s\dagger}_{\Lambda p}U(\Lambda)=\sqrt{\frac{2E_p}{2E_{\Lambda p}}}a^{s\dagger}_{p}$ geben uns

$U^{-1}(\Lambda)\psi(x')U(\Lambda)=\displaystyle\int\frac{d^3\Lambda p}{(2\pi)^3}\frac{\sqrt{2E_p}}{2E_\Lambda p}a^{s\dagger}_{ p}u^s(\Lambda p)e^{ip. x}$

Das Maß ist Lorentz-invariant, also können wir es umschreiben als

$U^{-1}(\Lambda)\psi(x')U(\Lambda)=\displaystyle\int\frac{d^3 p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_p}}a^{s\dagger}_{ p}u^s(\Lambda p)e^{ip. x}$

Jetzt fordern wir, dass dies gleich ist

$\Lambda_{1/2}\psi(x)=\Lambda_{1/2}\displaystyle\int\frac{d^3 p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_p}}a^{s\dagger}_{ p}u^s(p)e^{ip. x}$

und wir sehen sofort, dass wir haben müssen

$u^s(\Lambda p)=\Lambda_{1/2}u^s(p)$ .

Jetzt können Sie die inverse Transformation anwenden, $\psi(x)\rightarrow U(\Lambda)\psi(x)U^{-1}(\Lambda)$ um das Ergebnis zu erhalten, das Peskin & Schroeder haben.

Es tut mir leid, aber Ihre Antwort ist falsch. Der Fehler kommt von der Transformation des Erzeugungsoperators, dem die Wigner-Rotation aus der kleinen Gruppe für Teilchen mit Spin fehlt. Es geht um Spins.
@TwoBs Die Wigner-Rotation spielt keine Rolle, wenn wir in Richtung des Spins boosten oder um die Spinachse rotieren, was der Fall ist, den Peskin & Schroeder in Betracht ziehen.
ok, ich verstehe, du hast dich auf den trivialen Fall beschränkt. Aus deiner Antwort ging das nicht hervor. Könnten Sie bitte Ihre Antwort bearbeiten und hinzufügen, dass Sie sich auf einen solchen Fall beschränken. Besonders in der Schlussfolgerung über das Spinortransformationsgesetz, das nicht das allgemeine ist. (Oder noch besser, fügen Sie den allgemeinen hinzu). Nach Ihren Änderungen werde ich auch in der Lage sein, die herabgestuften zu entfernen

Unitäre Lorentz-Transformation auf quantisiertem Dirac-Spinor

Jäger

Jia Yiyang

Jäger

JoshPhysik

Jäger

Jäger

JoshPhysik

Jäger

Jäger

JoshPhysik

Jäger

JoshPhysik

Feuerstein72

Jäger

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ZweiBs

Okazaki

ZweiBs

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