Zusammenhang zwischen Teilchen und Feldern und Spinordarstellung der Poincare-Gruppe

Lassen Sie uns ein massives Teilchen als eine unwiderrufliche Darstellung der Poincare-Gruppe definieren. Dann haben wir ein Spinorfeld ψ a a 1 . . . a N − 1 β ˙ β ˙ 1 . . . β ˙ M − 1 , was gleich ist ( M 2 , N 2 ) Darstellung der Lorentz-Gruppe. Es gibt den schwer beweisbaren Satz:

ψ a a 1 . . . a N − 1 β ˙ β ˙ 1 . . . β ˙ M − 1 realisiert irreduzible Darstellung der Poincare-Gruppe, falls

( ∂ 2 − M 2 ) ψ a a 1 . . . a N − 1 β ˙ β ˙ 1 . . . β ˙ M − 1 = 0 ,
∂ a β ˙ ψ a a 1 . . . a N − 1 β ˙ β ˙ 1 . . . β ˙ M − 1 = 0.
Kann dieser Satz als Zusammenhang zwischen Feldern und Teilchen interpretiert werden?

Antworten (1)

Die Definition ist, dass ein Teilchen im Minkowski-Raum eine einheitliche irreduzible Darstellung der Poincare-Gruppe ist. Man muss also sehen, wie verschiedene PDEs mit der Klassifizierung einheitlicher irreduzibler Darstellungen zusammenhängen ich S Ö ( 3 , 1 ) oder ich S Ö ( D − 1 , 1 ) im Fall von D -Abmessungen statt 4 .

Beachten Sie, dass dies alle Poincare-invarianten Einschränkungen sind, die dem gegebenen Feld auferlegt werden können, ohne den Lösungsraum zu trivialisieren (man könnte auferlegen ∂ ψ = 0 (Gradient), was Poincare-invariant, aber zu stark ist, da das Feld eine Konstante sein muss).

Der Satz ist nicht schwer zu beweisen. Man muss wissen, wie man irreduzible Darstellungen der Poincare-Gruppe konstruiert, siehe Kapitel 2 des QFT-Lehrbuchs von Weinberg. Dann löst man die Gleichungen durch die Standard-Fourier-Transformation und zeigt, dass der Lösungsraum tatsächlich einem sogenannten Spin entspricht. M Teilchen im Minkowski-Raum.

Daran ist nichts Besonderes 4 D bei der Definition von Spin- M Feld, daher ist es einfacher, eine beliebige Dimension zu betrachten, bei der beispielsweise für Bosonen die obigen Gleichungen äquivalent sind

( ◻ − M 2 ) ϕ μ 1 . . . μ M = 0

∂ v ϕ v μ 2 . . . μ M = 0

η v ρ ϕ v ρ μ 3 . . . μ M = 0

ϕ μ 1 . . . μ S ist in allen Indizes vollkommen symmetrisch.

In 4 D man kann verwenden S Ö ( 3 , 1 ) ∼ S l ( 2 , C ) und die letzte algebraische Nebenbedingung trivialisiert dann - ein irreduzibler Spin-Tensor ist äquivalent zu einem irreduziblen S Ö ( 3 , 1 ) -Tensor

"... Der Satz ist nicht schwer zu beweisen ...", - Ich habe diesen Teil des Weinberg-Buches nicht gelesen und nur die Spinor-Darstellung der Lorentz-Gruppe verwendet (ohne einige Gleichungen zu verwenden). Nach Abschluss des Beweises kann ich aus dieser Äquivalenz eine Feldgleichung für Fälle beliebigen Spins aufstellen.
Nur ein Kommentar, die Entsprechung zwischen vernünftigen PDEs und Partikeln ist nicht eins zu eins. Ein und dasselbe Teilchen kann auf viele verschiedene Arten beschrieben werden. Beispielsweise kann ein Spin-Eins, Photon, mit Hilfe des Eichpotentials beschrieben werden A μ oder Feldstärke F μ v
Denn es gibt drei Darstellungen des Spins 1: ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 2 , 1 2 ) .
es ist noch schlimmer, es gibt unendlich viele Möglichkeiten, ein gegebenes Teilchen zu beschreiben, es kann als Unterrepräsentation sitzen. Ich habe nicht verstanden, ob ich Ihre Frage oben beantwortet habe oder nicht?
Zusammenhang zwischen Teilchen und Feldern und Spinordarstellung der Poincare-Gruppe
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