Gibt es eine "Quadratwurzel" der Klein-Gordon-Gleichung, die sich von der Dirac-Gleichung unterscheidet?

Question

Gibt es eine "Quadratwurzel" der Klein-Gordon-Gleichung, die sich von der Dirac-Gleichung unterscheidet?

Parität
Physik
Dirac-Gleichung
Spezielle Relativität
Quantenfeldtheorie
Klein-Gordon-Gleichung

Verrückter Max

Der Legende nach kommt Dirac auf die Dirac-Gleichung (alle Gleichungen sind in Planck-Einheiten $c= \hbar = 1$ in diesem Beitrag):

ich γ^{μ} \partial_{μ} ψ - M ψ = 0

$i\gamma^\mu\partial_\mu\psi - m\psi =0$ indem man die Quadratwurzel des Operators zieht

\partial^{μ} \partial_{μ}

$\partial^\mu\partial_\mu$ der Klein-Gordon-Gleichung, die die relativistische Version der Schrödinger-Gleichung ist:

(\partial^{μ} \partial_{μ} + M^{2}) ψ = 0

$(\partial^\mu\partial_\mu + m^2)\psi =0$

Ist die Dirac-Gleichung jedoch die einzige "Quadratwurzel" der Klein-Gordon-Gleichung? Gibt es eine andere "Quadratwurzel" der Klein-Gordon-Gleichung?

Es stellt sich heraus, dass es eine "Quadratwurzel" der Klein-Gordon-Gleichung gibt, die sich von der Dirac-Gleichung unterscheidet:

ich γ^{μ} \partial_{μ} ψ - M e^{θ ich γ_{5}} ψ = 0

$i\gamma^\mu\partial_\mu\psi - me^{\theta i\gamma_5} \psi = 0$ wobei der "komplexe" Fermion-Massenterm sowohl mit CP mit geradem Skalarteil als auch mit CP mit ungeradem Pseudoskalar ausgestattet ist

i γ_{5}

$i\gamma_5$ Teil:

M e^{θ ich γ_{5}} = M \cos θ + M ich γ_{5} Sünde θ .

$m e^{\theta i\gamma_5} = m\cos\theta + m i\gamma_5 \sin\theta .$

Können wir überprüfen, ob die obige "modifizierte" Dirac-Gleichung tatsächlich die "Quadratwurzel" der Klein-Gordon-Gleichung ist? Lassen Sie uns ans Eingemachte gehen:

M^{2} ψ = (M e^{- θ ich γ_{5}}) (M e^{θ ich γ_{5}}) ψ = (M e^{- θ ich γ_{5}}) (ich γ^{μ} \partial_{μ}) ψ = (ich γ^{μ} \partial_{μ}) (M e^{θ ich γ_{5}}) ψ = (ich γ^{μ} \partial_{μ}) (ich γ^{v} \partial_{v}) ψ = - \partial^{μ} \partial_{μ} ψ .

$m^2\psi \\ = (me^{-\theta i\gamma_5}) (me^{\theta i\gamma_5})\psi \\ = (me^{-\theta i\gamma_5}) (i\gamma^\mu\partial_\mu)\psi \\ = (i\gamma^\mu\partial_\mu) (me^{\theta i\gamma_5}) \psi \\ =(i\gamma^\mu\partial_\mu)(i\gamma^\nu\partial_\nu) \psi \\ = -\partial^\mu\partial_\mu\psi.$ Voila! Wir stellen tatsächlich die klassische Klein-Gordon-Gleichung wieder her, ohne irgendeinen komischen "komplexen" Faktor. Beachten Sie, dass wir in der 4. Zeile die entscheidende Anti-Pendel-Eigenschaft zwischen genutzt haben

γ_{5}

$\gamma_5$ Und

γ^{μ}

$\gamma^\mu$ .

Kann bitte jemand überprüfen, ob die obige Ableitung richtig oder falsch ist? Oder ist es tatsächlich dasselbe wie die ursprüngliche Dirac-Gleichung?

Hinweis hinzugefügt

Die lustige Tatsache ist, dass nach einer axialen Drehung des Fermionenfeldes

ψ \to e^{- \frac{1}{2} θ ich γ_{5}} ψ .

$\psi \rightarrow e^{-\frac{1}{2}\theta i\gamma_5} \psi.$ Der "komplexe" Massenterm im Lagrange-Format kann in einen skalaren Massenterm umgewandelt werden (während der kinetische Term intakt bleibt):

M \bar{ψ} e^{θ ich γ_{5}} ψ \to M \bar{ψ} ψ .

$m\bar{\psi} e^{\theta i\gamma_5} \psi \rightarrow m\bar{\psi} \psi.$ Mit anderen Worten, durch Neudefinition des Fermionenfeldes ist der CP ein ungerader Teil der Masse

m i γ_{5} \sin θ

$m i\gamma_5 \sin\theta$ kann effektiv weggedreht werden. Davon abgesehen wissen wir, dass die Fermion-Masse über den Higgs-Mechanismus erzeugt wird. Die Drehung zur "echten" Masse ist möglich, wenn nur ein Higgs-Boson vorhanden ist. Wenn Sie Lust auf eine Phantasie haben, die über das Standardmodell hinausgeht und mehrere Higgs-Bosonen umfasst, kann die genannte Rotation nur einen Higgs-Boson-CP gleichmäßig machen, während das andere Higgs-Boson mit einem CP-brechenden Pseudoskalar belassen wird

i γ_{5}

$i\gamma_5$ Phase.

Natürlich werden diese Multi-Higgs-Boson-Szenarien normalerweise nicht in Einsteiger-QFT-Büchern berücksichtigt. Daher wird die "modifizierte" Dirac-Gleichung normalerweise überhaupt nicht erwähnt. Aber denken Sie, dass die üblichen QFT-Lehrbücher es nur zum Spaß erwähnen sollten?

Wenn Sie die rechtshändigen und linkshändigen Spinoren getrennt behandeln (z. B. Weyl-Spinoren), hätten Sie mehr Freiheit bei axialen Rotationen, ohne explizit den Pseudoskalar aufzurufen. Genau das passiert in den CKM-bezogenen Rotationen. Aber es gibt immer noch nicht genug Freiheit im Fall von drei Generationen, um alle Pseudoskalare in den Familienmischungsparametern aufzuheben, daher bleibt eine verbleibende CP-verletzende Phase im elektroschwachen Sektor.

Kurz gesagt, das allgemeinste "Quadratwurzel" -Gegenstück der Klein-Gordon-Gleichung ist die Dirac-Gleichung mit einem "komplexen" Massenterm $m e^{\theta i\gamma_5} \psi$ . Die „echte“ Massen-Dirac-Gleichung ist lediglich ein Spezialfall $\theta = 0$ .

Weitere hinzugefügte Anmerkung:

Es gibt eine separate Ausgabe des skalaren Massenterms

M \bar{ψ} ψ

$m\bar\psi \psi$ sei eingebildet, wenn man die Grassmann-Zahlenkomponenten aus stecke

ψ

$\psi$ Und

\bar{ψ}

$\bar\psi$ . Details siehe hier .

Knzhou

Ich habe hier mal eine verwandte Frage gestellt .

Knzhou

Natürlich haben Sie recht, dass in einigen Fällen diese seltsamen „Pseudo-Dirac-Spinoren“ nicht umdefiniert werden können, um gewöhnliche Dirac-Spinoren zu erhalten. Aber in diesen Fällen würden die meisten Physiker sagen, dass der Versuch, Weyl-Spinoren in Paaren zu gruppieren, um Vierkomponenten-Spinoren zu bilden, mehr Mühe macht, als es wert ist, und sie werden stattdessen einfach direkt mit den Weyl-Spinoren arbeiten.

Verrückter Max

@knzhou, einverstanden, wenn Sie die rechtshändigen und linkshändigen Spinoren separat behandeln (z. B. Weyl-Spinoren), hätten Sie mehr Freiheit bei Pseudscalor-ähnlichen Rotationen, ohne den Pseudscalor explizit aufzurufen. Genau das passiert bei Rotationen im Zusammenhang mit CKM. Aber es gibt immer noch nicht genug Freiheit im Fall von drei Generationen, um alle Pseudskaloren in den Familienmischungsparametern aufzuheben, daher bleibt eine verbleibende CP-verletzende Phase im elektroschwachen Sektor.

Triatticus

@Oбжорoв das Vektortripelprodukt ist ein Pseudoskalar, dh ein Skalar, der bei einer Koordinateninversion das Vorzeichen wechselt

Benutzer21299

@MadMax: Die Ableitung ist korrekt. Eigentlich möchten Sie vielleicht wissen, dass Ihre Transformation beinhaltet

\exp (i θ γ_{5})

$\exp(i\theta \gamma_5)$ wird in Lehrbüchern als „Axialrotation“ oder „Axialsymmetrie“ bezeichnet. Es ist im masselosen Fall relevant, wo es eine Symmetrie der masselosen Dirac-Gleichung ist (aber in QFT bekanntermaßen anomal ist ...)

bolbteppa

Ist das überhaupt richtig, so stimmt es sicher nicht

(i γ^{μ} \partial_{μ} - m e^{i γ_{5} θ})^{2} = (i γ^{μ} \partial_{μ} - m e^{i γ_{5} θ}) (i γ^{μ} \partial_{μ} - m e^{i γ_{5} θ})

$(i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m e^{i \gamma_5 \theta})^2 = (i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m e^{i \gamma_5 \theta}) (i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m e^{i \gamma_5 \theta})$ ergibt die Dirac-Gleichung, weil sich zB die Kreuzterme nicht aufheben. Sie scheinen zu versuchen, die komplexe Quadratwurzel mit a zu ziehen

†

$\dagger$ dh

(i γ^{μ} \partial_{μ} - m e^{i γ_{5} θ})^{†} (i γ^{μ} \partial_{μ} - m e^{i γ_{5} θ})

$(i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m e^{i \gamma_5 \theta})^{\dagger} (i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m e^{i \gamma_5 \theta})$ aber das scheint keinen sinn zu machen

†

$\dagger$ macht es links und nicht rechts ...

bolbteppa

Sie können dies sicherlich nicht einfach tun, indem Sie das tatsächliche komplexe Konjugat nehmen

(i γ^{μ} \partial_{μ} - m e^{i γ_{5} θ})^{*} (i γ^{μ} \partial_{μ} - m e^{i γ_{5} θ})

$(i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m e^{i \gamma_5 \theta})^* (i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m e^{i \gamma_5 \theta})$ Weil

{γ_{μ}^{*}, γ_{ν}} \neq 2 η_{μ ν}

$\{\gamma_{\mu}^* , \gamma_{\nu} \} \neq 2 \eta_{\mu \nu}$ richtig, in der Tat müssten Sie tun

\partial^{μ} \partial^{ν} γ_{μ}^{*} γ_{ν} = \frac{1}{2} \partial^{μ} \partial^{ν} (γ_{μ}^{*} γ_{ν} + γ_{ν}^{*} γ_{μ})

$\partial^{\mu} \partial^{\nu} \gamma_{\mu}^* \gamma_{\nu} = \frac{1}{2} \partial^{\mu} \partial^{\nu} ( \gamma_{\mu}^* \gamma_{\nu} + \gamma_{\nu}^* \gamma_{\mu})$ was noch schlimmer ist, also macht das überhaupt sinn? Auf jeden Fall hätte diese Frage niemals geschlossen werden dürfen.

Alexander Nelson

Dies scheint mit physical.stackexchange.com/q/156124/9290 zusammenzuhängen

Antworten (2)

Gibt es eine "Quadratwurzel" der Klein-Gordon-Gleichung, die sich von der Dirac-Gleichung unterscheidet?

Natürlich haben Sie recht, dass in einigen Fällen diese seltsamen „Pseudo-Dirac-Spinoren“ nicht umdefiniert werden können, um gewöhnliche Dirac-Spinoren zu erhalten. Aber in diesen Fällen würden die meisten Physiker sagen, dass der Versuch, Weyl-Spinoren in Paaren zu gruppieren, um Vierkomponenten-Spinoren zu bilden, mehr Mühe macht, als es wert ist, und sie werden stattdessen einfach direkt mit den Weyl-Spinoren arbeiten.
@knzhou, einverstanden, wenn Sie die rechtshändigen und linkshändigen Spinoren separat behandeln (z. B. Weyl-Spinoren), hätten Sie mehr Freiheit bei Pseudscalor-ähnlichen Rotationen, ohne den Pseudscalor explizit aufzurufen. Genau das passiert bei Rotationen im Zusammenhang mit CKM. Aber es gibt immer noch nicht genug Freiheit im Fall von drei Generationen, um alle Pseudskaloren in den Familienmischungsparametern aufzuheben, daher bleibt eine verbleibende CP-verletzende Phase im elektroschwachen Sektor.
@Oбжорoв das Vektortripelprodukt ist ein Pseudoskalar, dh ein Skalar, der bei einer Koordinateninversion das Vorzeichen wechselt
@MadMax: Die Ableitung ist korrekt. Eigentlich möchten Sie vielleicht wissen, dass Ihre Transformation beinhaltet $\exp(i\theta \gamma_5)$ wird in Lehrbüchern als „Axialrotation“ oder „Axialsymmetrie“ bezeichnet. Es ist im masselosen Fall relevant, wo es eine Symmetrie der masselosen Dirac-Gleichung ist (aber in QFT bekanntermaßen anomal ist ...)
Ist das überhaupt richtig, so stimmt es sicher nicht $(i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m e^{i \gamma_5 \theta})^2 = (i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m e^{i \gamma_5 \theta}) (i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m e^{i \gamma_5 \theta})$ ergibt die Dirac-Gleichung, weil sich zB die Kreuzterme nicht aufheben. Sie scheinen zu versuchen, die komplexe Quadratwurzel mit a zu ziehen $\dagger$ dh $(i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m e^{i \gamma_5 \theta})^{\dagger} (i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m e^{i \gamma_5 \theta})$ aber das scheint keinen sinn zu machen $\dagger$ macht es links und nicht rechts ...
Sie können dies sicherlich nicht einfach tun, indem Sie das tatsächliche komplexe Konjugat nehmen $(i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m e^{i \gamma_5 \theta})^* (i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m e^{i \gamma_5 \theta})$ Weil $\{\gamma_{\mu}^* , \gamma_{\nu} \} \neq 2 \eta_{\mu \nu}$ richtig, in der Tat müssten Sie tun $\partial^{\mu} \partial^{\nu} \gamma_{\mu}^* \gamma_{\nu} = \frac{1}{2} \partial^{\mu} \partial^{\nu} ( \gamma_{\mu}^* \gamma_{\nu} + \gamma_{\nu}^* \gamma_{\mu})$ was noch schlimmer ist, also macht das überhaupt sinn? Auf jeden Fall hätte diese Frage niemals geschlossen werden dürfen.
Dies scheint mit physical.stackexchange.com/q/156124/9290 zusammenzuhängen

Benutzer21299 · Answer 1

Es scheint einige Verwirrung in den Kommentaren zu geben, daher hier eine vollständige Antwort.

Erstmal eingestellt $\eta=(-,+,+,+)$ Und

γ_{μ} γ_{v} + γ_{v} γ_{μ} = 2 η_{μ v}, (γ^{5})^{2} = 1, γ^{5} γ_{μ} + γ_{μ} γ^{5} = 0 .

$\gamma_\mu\gamma_\nu + \gamma_\nu\gamma_\mu=2\eta_{\mu\nu}\,,\quad (\gamma^5)^2=1\,,\qquad \gamma^5 \gamma_\mu + \gamma_\mu \gamma^5=0\,.$

Betrachten Sie zuerst die Standard-Dirac-Gleichung:

(\partial_{μ} γ^{μ} + M) ψ = 0 .

$(\partial_\mu \gamma^\mu +m)\psi=0\,.$ Wir finden

0 = (- \partial_{μ} γ^{μ} + M) (\partial_{μ} γ^{μ} + M) ψ = - η^{μ v} \partial_{μ} \partial_{v} ψ + M^{2} ψ .

$0=(-\partial_\mu \gamma^\mu +m)(\partial_\mu \gamma^\mu +m) \psi=-\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu \psi + m^2\psi.$ Wir haben also nicht buchstäblich eine Quadratwurzel. Sie benötigen einen Vorzeichenwechsel, um die Kreuzbegriffe zu beseitigen, ähnlich wie

x^{2} + y^{2} = (x + i y) (x - i y)

$x^2+y^2=(x+iy)(x-iy)$ . Da wir hier die Mostly-Plus-Konvention verwenden, erkennen wir hier in der letzten Gleichheit die Klein-Gordon-Gleichung. (Siehe auch Peskin & Schroeder, Kapitel 3.2, obwohl sie die schreckliche Meistens-Minus-Konvention verwenden.)

Wie wäre es mit

(\partial_{μ} γ^{μ} + M \exp (ich θ γ^{5})) ψ = 0 ?

$(\partial_\mu \gamma^\mu +m \exp(i\theta\gamma^5))\psi=0?$ ist das eine "Quadratwurzel" im obigen Sinne? Sicher; alle Lösungen der obigen lösen auch die KG-Gleichung:

0 = (- \partial_{μ} γ^{μ} + M \exp (- ich θ γ^{5})) (\partial_{μ} γ^{μ} + M \exp (ich θ γ^{5})) ψ = (- η^{μ v} \partial_{μ} \partial_{v} + M e^{- ich θ γ^{5}} \partial_{μ} γ^{μ} - M \partial_{μ} γ^{μ} e^{+ ich θ γ^{5}} + M^{2}) ψ = - η^{μ v} \partial_{μ} \partial_{v} ψ + M^{2} ψ .

$0=(-\partial_\mu \gamma^\mu +m \exp(-i\theta\gamma^5))(\partial_\mu \gamma^\mu +m \exp(i\theta\gamma^5))\psi\\ =(-\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu +m e^{-i\theta\gamma^5} \partial_\mu\gamma^\mu -m\partial_\mu\gamma^\mu e^{+i\theta\gamma^5}+m^2)\psi\\ =-\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu \psi + m^2\psi\,.$ Seit

γ^{5}

$\gamma^5$ Anti pendelt mit

γ^{μ}

$\gamma^\mu$ , heben sich die Crossterms auf.

Dies ist im Wesentlichen dasselbe wie die in der Frage angegebene Ableitung (der ich zustimme).

Wie ich in meinem obigen Kommentar erwähnt habe, ist die axiale Rotation, die den Massenterm tötet, um den es in der Frage geht, populärer als diese modifizierte Dirac-Gleichung, wenn auch aus keinem anderen Grund als

Die axiale Drehung ist im masselosen Fall eine Symmetrie, und
Im massiven Fall können Sie Ihre Fermionen normalerweise mit der axialen Drehung neu definieren, um den Massenterm zu töten $m\exp(i\theta\gamma^5)$ zugunsten von $m$ .

BEARBEITEN: Natürlich können Sie alle ähnlichen "Dirac-Gleichungen" klassifizieren, indem Sie Matrizen tabellieren, die mit allen (anti)kommutieren $\gamma_{\mu}$ . Das ist natürlich Lehrbuchstoff. Meine Erinnerung ist, dass das Lemma-Argument von Schur zeigt, dass alle solche in der Spanne von liegen $1$ Und $\gamma^5$ (in jeder Dimension).

Säuerlich · Answer 2

Eindeutigkeit ist ein relativ breiteres Forschungsthema: Wir müssen prüfen, was in welchem Kontext anwendbar ist: Schauen Sie sich das an: Der Pseudodifferentialoperator Quadratwurzel der Klein-Gordon-Gleichung - Claus Lammerzahla, 1993, ZARM . Siehe auch: https://www.zarm.uni-bremen.de

Meinst du dieses Papier? @ zarm.uni-bremen.de/uploads/tx_sibibtex/… . Vielleicht ist es am besten, den Link in Ihre Antwort aufzunehmen.

Gibt es eine "Quadratwurzel" der Klein-Gordon-Gleichung, die sich von der Dirac-Gleichung unterscheidet?

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