Lorentzkovariante Formel für Noetherladungen in QFT

Question

Lorentzkovariante Formel für Noetherladungen in QFT

Physik
Noethers-Theorem
Erhaltungsgesetze
Spezielle Relativität
Quantenfeldtheorie
Klein-Gordon-Gleichung

Benutzer78618

Ich suche nach einem Lorentz-kovarianten Ausdruck von Noether-Ladungen und habe diesen Artikel gefunden: https://arxiv.org/abs/hep-th/0701268 , insbesondere Abschnitt II-A.

Betrachten wir speziell Gl. (20-21) behaupten sie:

Q_{μ} = \frac{1}{2} (ϕ, P_{μ} ⊳ ϕ),

$Q_\mu=\frac{1}{2}(\phi, P_\mu \rhd \phi),$

Q

$Q$ ist die erhaltene Ladung "

⊳

$\rhd$ " ist nur ein "Einwirken auf"-Symbol und das innere Produkt ist definiert durch (

ε

$\varepsilon$ ist die Vorzeichenfunktion):

(ϕ_{1}, ϕ_{2}) = \int D^{4} P δ (P^{2} - M^{2}) ε (P_{0}) {\tilde{ϕ}}_{1}^{*} (- P) {\tilde{ϕ}}_{2} (P) .

$(\phi_1, \phi_2)=\int d^4p \, \delta(p^2-m^2) \varepsilon(p_0)\tilde{\phi}_1^*(-p)\tilde{\phi}_2(p).$

\tilde{ϕ}

$\tilde{\phi}$ ist die Fourier-Transformation von

ϕ

$\phi$ .

Daher ist die Noether-Ladung

\begin{matrix} (1) & Q_{μ} = \frac{1}{2} \int D^{4} P δ (P^{2} - M^{2}) ε (P_{0}) P_{μ} {\tilde{ϕ}}^{*} (- P) \tilde{ϕ} (P) . \end{matrix}

$\begin{equation} \label{1} \tag{1} Q_\mu = \frac{1}{2}\int d^4p \, \delta(p^2-m^2) \varepsilon(p_0)p_\mu\tilde{\phi}^*(-p)\tilde{\phi}(p). \end{equation}$

Jetzt kämpfe ich darum, den bekannten quantisierten Ausdruck in QFT zu bekommen:

Q_{μ} = \int D^{3} P P_{μ} A^{†} (\vec{P}) A (\vec{P}), [A^{†} (\vec{P}), A (\vec{Q})] = - δ^{3} (\vec{P} - \vec{Q})

$Q_\mu= \int d^3p\,\, p_\mu \,\,a^\dagger (\vec{p}) \,a (\vec{p}), \,\,\,\,[a^\dagger (\vec{p}), \,a (\vec{q})]=-\delta^3 (\vec{p}-\vec{q})$ aus (1), durch Einsetzen des üblichen skalaren Klein-Gordon-Feldes mit Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren.

Wenn ich mich nicht irre (1) im Koordinatenraum aussieht

\begin{matrix} (2) & \int D^{4} X D^{4} j ϕ (X) Δ (X - j) (- ich \frac{\partial ϕ (j)}{\partial j^{μ}}) = Q_{μ}, \end{matrix}

$\int d^4x \,\,d^4y \,\, \phi (x) \Delta (x-y)\left( -i\frac{\partial \phi(y)}{\partial y^\mu}\right)=Q_\mu, \tag{2}$ Wo

Δ

$\Delta$ ist die übliche Kommutatorfunktion

Δ (X - j) = \int D^{4} P ε (P_{0}) δ (P^{2} - M^{2}) e^{- ich P \cdot (X - j)} .

$\Delta (x-y)=\int d^4p \,\, \varepsilon(p_0) \delta (p^2-m^2)e^{-ip\cdot (x-y)}.$ Einfach durch Ersetzen in (2)

ϕ (X) = \int \frac{D^{3} P}{{\sqrt{2 ω}}_{\vec{P}}} (A (\vec{P}) e^{- ich P \cdot X} + A^{†} (\vec{P}) e^{ich P \cdot X})

$\phi(x)= \int \frac{d^3p}{\sqrt{2\omega}_\vec{p}}(a(\vec{p}) e^{-ip\cdot x}+a^\dagger(\vec{p}) e^{ip\cdot x} )$ Ich scheine nicht die richtige Antwort zu bekommen.

Vielleicht mache ich eine Rechnung falsch oder habe den Artikel falsch interpretiert. Jede Hilfe wäre sehr willkommen!

AKTUALISIEREN

Schreiben zum Beispiel $\phi(x)=\int d^4p \,\, a(p) \delta(p^2-m^2) e^{-ip \cdot x}$ Dann $\tilde{\phi}(p)=a(p)\delta(p^2-m^2)$ und (1) wird

Q_{μ} = \frac{1}{2} \int D^{4} P ε (P_{0}) P_{μ} A (- P) A (P) δ (P^{2} - M^{2}) δ (P^{2} - M^{2}) δ (P^{2} - M^{2}) .

$Q_\mu= \frac{1}{2} \int d^4p \,\, \varepsilon(p_0) \, p_\mu a(-p)a(p)\,\,\delta(p^2-m^2)\delta(p^2-m^2)\delta(p^2-m^2).$ Ist das richtig? Wie berechnet man die drei Deltas? Ich könnte die Identität verwenden

δ (x) f (x) = δ (x) f (0)

$\delta(x)f(x)=\delta(x)f(0)$ mit

f = δ

$f=\delta$ zweimal zu bekommen

δ (P^{2} - M^{2}) δ (P^{2} - M^{2}) δ (P^{2} - M^{2}) = δ (P^{2} - M^{2}) δ (0) δ (0) = δ (P^{2} - M^{2}) \cdot S,

$\delta(p^2-m^2)\delta(p^2-m^2)\delta(p^2-m^2)=\delta(p^2-m^2)\delta(0)\delta(0)=\delta(p^2-m^2)\cdot \mathcal{S},$ Wo

S

$\mathcal{S}$ ist ein (unendlicher) Oberflächenbeitrag, bei dem ich derzeit nicht sehe, wie er sich aufhebt. Was vermisse ich?

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Lorentzkovariante Formel für Noetherladungen in QFT

AccidentalFourierTransform · Answer 1

Die Standardkonvention ist zu nehmen $\tilde \phi(p)\equiv \delta(p^2-m^2)a(\vec p)$ . Es sollte klar sein, dass dieser Ausdruck in diesem Zusammenhang nicht richtig sein kann, genau aus dem Grund, den OP gefunden hat: dem Skalarprodukt $(\phi_1,\phi_2)$ undefiniert wäre, da sie mehrere enthalten würde $\delta(0)=\infty$ Faktoren. Daher in diesem Zusammenhang die Notation $\tilde \phi(p)$ muss eine andere Bedeutung als die Standardbedeutung haben; eine Bedeutung, die Dirac-Deltas auf der Schale nicht einschließt, um die Faktoren von zu vermeiden $\delta(0)=\infty$ . Der $\delta(p^2-m^2)$ in der Definition von $(\phi_1,\phi_2)$ setzt schon $p$ on-shell, daher wäre es überflüssig, ein weiteres Delta einzufügen $\tilde\phi(p)$ .

Es scheint, dass in diesem Zusammenhang $\tilde\phi(\omega_{\vec p},\vec p)$ ist nur ein Synonym für $a(\vec p)$ :

\tilde{ϕ} (P) δ (P^{0} - ω_{\vec{P}}) \equiv A (\vec{P}) δ (P^{0} - ω_{\vec{P}})

$\tilde\phi(p)\delta(p^0-\omega_{\vec p})\equiv a(\vec p)\delta(p^0-\omega_{\vec p})$

Damit und mit (vgl. diesen PSE-Beitrag )

δ (P^{2} - M^{2}) Θ (P_{0}) D P^{0} = \frac{1}{2 ω (\vec{P})} δ (P^{0} - ω_{\vec{P}}) D P^{0}

$\delta(p^2-m^2) \Theta(p_0)\,\mathrm dp^0=\frac{1}{2\omega(\vec p)}\delta(p^0-\omega_{\vec p})\,\mathrm dp^0$ du erhältst

\begin{aligned} Q^{μ} & = \frac{1}{2} \int δ (P^{2} - M^{2}) ε (P^{0}) P^{μ} {\tilde{ϕ}}^{*} (- P) \tilde{ϕ} (P) D P \\ = \int \frac{1}{2 ω (\vec{P})} P^{μ} {\tilde{ϕ}}^{*} (- ω_{\vec{P}}, - \vec{P}) \tilde{ϕ} (ω_{\vec{P}}, \vec{P}) D \vec{P} \\ = \int P^{μ} A^{*} (\vec{P}) A (\vec{P}) \tilde{D P} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} Q^\mu &= \frac{1}{2}\int \delta(p^2-m^2) \varepsilon(p^0)p^\mu\tilde{\phi}^*(-p)\tilde{\phi}(p)\,\mathrm dp\\ &=\int \frac{1}{2\omega(\vec p)} p^\mu\tilde{\phi}^*(-\omega_{\vec p},-\vec p)\tilde{\phi}(\omega_{\vec p},\vec p)\,\mathrm d\vec p\\ &=\int p^\mu a^*(\vec p)a(\vec p)\,\widetilde{\mathrm dp} \end{aligned} \end{equation}$ Wo

\tilde{D P} \equiv \frac{1}{2 ω (\vec{P})} D \vec{P}

$\widetilde{\mathrm dp}\equiv \frac{1}{2\omega(\vec p)}\mathrm d\vec p$ ist das Lorentz-invariante Maß.

Beachten Sie, dass $Q^\mu$ stimmt mit dem Standardausdruck für den Generator von Raum-Zeit-Translationen bis auf den konventionellen Fourier-Faktor überein $(2\pi)^3$ , die normalerweise in enthalten ist $\widetilde{\mathrm dp}$ .

Eine dumme Anmerkung für alle Interessierten: Vielleicht haben Sie meine Notation falsch interpretiert, $\varepsilon$ ist die Vorzeichenfunktion. So $\varepsilon(p_0)=\Theta(p_0)-\Theta(-p_0)$ . Dann ist alles richtig, was Sie geschrieben haben, bis auf einen zusätzlichen Begriff, der bei der normalen Reihenfolge der Operatoren schließlich unwichtig ist.
@rhetoricalphysicist Ich bin froh, dass ich helfen konnte :-) [Übrigens, ja, das dachte ich mir $\varepsilon$ war die Sprungfunktion, also war mein Ergebnis um einen Faktor von abweicht $\frac12$ ; Ich habe es behoben, ich hoffe, es ist jetzt in Ordnung.]

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Benutzer78618

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