Noether-Strom für eine lokale Pegeltransformation für den Klein-Gordon-Lagrangian

Kommentar zur Frage (v4): OP spricht von einer lokalen komplexen Phasentransformation für eine komplexe Massive-Skalar-Theorie (KG). Aber eine generische lokale komplexe Phasentransformation ist keine Quasisymmetrie$^1$der KG-Aktion, und daher gilt der Satz von Noether (2.) nicht.

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$^1$Eine unendlich kleine Transformation$\delta$ist eine Quasi-Symmetrie der Lagrange-Dichte${\cal L}$ist erhalten$\delta {\cal L}= d_{\mu} f^{\mu}$modulo eine totale Raum-Zeit-Divergenz Off-Shell, vgl. diese Phys.SE-Antwort. Wenn die gesamte Raum-Zeit-Divergenz$d_{\mu} f^{\mu}$Null ist, sprechen wir von einer Symmetrie.

Für eine lokale Spurweitentransformation$\delta \phi = i \alpha(x)\phi$, Und$\delta \phi^*=-i\alpha(x)\phi$.

Diese Gleichungen implizieren$\delta(\partial_{\mu}\phi)=i(\partial_{\mu} \alpha)\phi+i \alpha (\partial_{\mu}\phi)$Und$\delta(\partial_{\mu}\phi^*)=-i(\partial_{\mu} \alpha)\phi^*-i \alpha (\partial_{\mu}\phi^*)$

Deshalb,$\delta \mathcal{L}=\delta(\partial_{\mu}\phi \partial^{\mu}\phi^*)-m^2 \delta(\phi* \phi)=\partial_{\mu}\alpha J^{\mu}$, Wo$J^{\mu}=i(\phi \partial^{\mu}\phi^*-\phi^* \partial^{\mu}\phi)$

Einstellung$\delta S=\int \delta \mathcal{L}=0$, bekommt man$\partial_{\mu}J^{\mu}=0$