Lehrenfixierung und Freiheitsgrade

Question

Lehrenfixierung und Freiheitsgrade

Messgerät
Physik
Gauge-Symmetrie
Freiheitsgrade
Quantenfeldtheorie

Prahar

Heute hat mein Freund (@ Will ) eine sehr faszinierende Frage gestellt -

Betrachten Sie eine komplexe Skalarfeldtheorie mit a $U(1)$ Messfeld $(A_\mu, \phi, \phi^*)$ . Die Idee der Eichfreiheit besteht darin, dass zwei Lösungen identifiziert werden, die durch eine Eichtransformation verbunden sind (im Gegensatz zu einer globalen Transformation, bei der die Lösungen unterschiedlich sind, aber zu genau denselben Observablen führen), dh

({EIN}_{μ} (x), ϕ (x), ϕ^{*} (x)) \sim ({EIN}_{μ} (x) + \partial_{μ} a (x), e^{ich a (x)} ϕ, e^{- ich a (x)} ϕ^{*} (x)) .

$(A_\mu(x), \phi(x), \phi^*(x)) ~\sim~ (A_\mu(x) + \partial_\mu \alpha(x), e^{i \alpha(x)}\phi, e^{-i \alpha(x)}\phi^*(x)).$ Der Prozess der "Messgerätefixierung" besteht darin, eine der vielen äquivalenten Lösungen auszuwählen, die über die Messgerätetransformation verbunden sind. Das übliche Verfahren zur Festlegung von Messgeräten besteht darin, eine Bedingung aufzuerlegen

A_{μ}

$A_\mu$ damit man sich eine der Lösungen aussucht. Seine Frage war folgende:

Anstatt eine Eichbedingung aufzuerlegen $A_\mu$ , warum legen wir keine Eichbedingung fest $\phi$ ? Würde dies nicht auch eine der vielen gleichwertigen Lösungen heraussuchen? Sollte uns das nicht auch die gleichen Observablen liefern? Wenn ja, warum machen wir das in der Praxis nicht?

Nach kurzer Diskussion kamen wir zu folgendem Ergebnis:

Die Idee der Eichsymmetrie stammt aus der Forderung, dass eine Quantentheorie Felder beinhaltet $(A_\mu, \phi, \phi^*)$ haben eine Teilcheninterpretation in Bezug auf masselose Spin-1-Teilchen und 2 Spin-0-Teilchen. Vor der Fixierung des Messgeräts umfassen die Freiheitsgrade auf der Schale jedoch die eines masselosen Spin-1-Partikels und 3 Spin-0-Felder ( $A_\mu \equiv 1 \otimes 0,~\phi,\phi^* \equiv 0$ ). Wir möchten nun eine Eichbedingung aufstellen, um einen skalaren Freiheitsgrad loszuwerden. Es gibt zwei Möglichkeiten, dies zu tun -

Messgerätbedingung auferlegen $A_\mu$ so dass $A_\mu \equiv 1$ . Jetzt, $A_\mu$ entspricht einem masselosen Spin-1-Teilchen und der komplexe Skalar entspricht zwei Spin-0-Teilchen. Dies ist, was normalerweise getan wird.
Legen Sie eine Eichbedingung an $\phi$ . Das kann man zum Beispiel verlangen $\phi = \phi^*$ . Wir haben jetzt ein reales Feld, das einem Spin-0-Teilchen entspricht. Jedoch, $A_\mu$ enthält noch die Freiheitsgrade sowohl eines masselosen Spin-1- als auch eines Spin-0-Teilchens.

Ich habe behauptet, dass das zweite Verfahren zur Befestigung des Messgeräts dem ersten völlig äquivalent ist. Der Operator, der jetzt ein masseloses Spin-1-Teilchen erzeugt, ist jedoch eine böse, möglicherweise nicht-Lorentz-invariante Kombination von $A_0, A_1, A_2$ und $A_3$ . Eine ähnliche Aussage gilt für den Spin-0 dof in $A_\mu$ . Daher sind die Operatoren auf dem Hilbert-Raum, die den interessierenden Teilchen entsprechen, nicht schön. Es ist daher nicht angenehm, mit einem solchen Lehrenbefestigungsverfahren zu arbeiten.

Zusammenfassend funktionieren beide Lehrenbefestigungsverfahren. Das erste ist "nett". Der zweite nicht.

Ist diese Schlussfolgerung richtig?

HINWEIS: Durch die Anweisung $A_\mu \equiv 1$ , Ich meine, dass $A_\mu$ enthält nur einen masselosen Spin-1 dof

Benutzer1504

Es macht keinen Sinn, von masselosen oder massiven Teilchen zu sprechen, die von erzeugt wurden

A

$A$ . Sie müssen eine Aktion angeben, um zu wissen, welche Lorentz-Irreps auftreten. Ohne eine Aktion können Sie nur die Anzahl der dofs zählen.

Benutzer1504

Außerdem seit

A

$A$ und

ϕ

$\phi$ durch die Eichsymmetrie gemischt werden, macht es keinen Sinn, ihre Teilchen separat zu betrachten. Sie möchten eichinvariante Observablen wie die Verbindung von Wilson-Linien betrachten

ϕ

$\phi$ und

\bar{ϕ}

$\bar{\phi}$ .

Prahar

Ich sehe definitiv ein, dass das bloße Zählen von Freiheitsgraden zu naiv war. Ich sollte auch darüber nachdenken, wie sie sich unter der Lorentz-Transformation transformieren.

Antworten (1)

Lehrenfixierung und Freiheitsgrade

Es macht keinen Sinn, von masselosen oder massiven Teilchen zu sprechen, die von erzeugt wurden $A$ . Sie müssen eine Aktion angeben, um zu wissen, welche Lorentz-Irreps auftreten. Ohne eine Aktion können Sie nur die Anzahl der dofs zählen.
Außerdem seit $A$ und $\phi$ durch die Eichsymmetrie gemischt werden, macht es keinen Sinn, ihre Teilchen separat zu betrachten. Sie möchten eichinvariante Observablen wie die Verbindung von Wilson-Linien betrachten $\phi$ und $\bar{\phi}$ .
Ich sehe definitiv ein, dass das bloße Zählen von Freiheitsgraden zu naiv war. Ich sollte auch darüber nachdenken, wie sie sich unter der Lorentz-Transformation transformieren.

Benutzer1504 · Answer 1

Benutzer1504

Wenn $\phi$ nicht Null ist, wodurch die Phase von festgelegt wird $\phi$ ist eine vollkommen gültige Eichbedingung. Es wird häufig in Berechnungen des Standardmodells mit dem Higgs-Feld verwendet, wo es unter dem Namen Unitarity Gauge bekannt ist . Dies ist in gewisser Weise ein nettes Maß, weil es die Tatsache deutlich macht, dass es ein massives Vektorfeld im System gibt.

Bearbeiten: Bei einheitlichen Messgeräten ist Vorsicht geboten. Es ist ein vollständiges Messgerät, wenn Sie vernünftig behandeln können $\phi$ als nicht Null, weil es jeden Freiheitsgrad in der Eichtransformation nutzt. Dies bedeutet zum Beispiel, dass es in Ordnung ist, in Störungsrechnungen um ein Higgs-Kondensat herum zu verwenden. Aber wenn $\phi$ verschwinden kann, ist die Phasenfunktion nicht eindeutig definiert, was bedeutet, dass die Eichtransformation nicht invertierbar ist. Dieses Messgerät ist nicht ganz ein Messgerät.

Prahar

Ich glaube aber nicht, dass ich das meine. In diesem Fall fixieren wir kein Messgerät. Wir brechen explizit eine globale interne Symmetrie. Außerdem wird in diesem Fall ein dof aus dem Higgs-Feld nun zur Longitudinalmode eines Photons, um es in ein massives Vektorboson umzuwandeln, wodurch sich der Teilcheninhalt der Theorie ändert. Die „Pegelfixierung“, von der ich spreche, ändert jedoch nichts am Teilchengehalt der Feldtheorie. Es bettet einfach einen masselosen Spin-1 und einen Spin-0 dof in einen ein

A_{μ}

$A_\mu$ .

Benutzer1504

Eh? Nein. Das einheitliche Messgerät ist eigentlich ein Messgerät. Es ist dasjenige, das Sie in 2 beschrieben haben und das die Phase des Skalarfelds auf 0 festlegt. (Dies verwendet den dof-Wert einer Funktion, viel mehr als das Festnageln einer globalen Symmetrie.)

Prahar

OK. Es tut uns leid. Ich glaube, ich stimme dir jetzt zu. Hier ist mein aktuelles Verständnis - Messgerät, das die Phase von festlegt

ϕ

$\phi$ , gibt Ihnen natürlich den DOF eines massiven Spin-1-Teilchens und eines Skalarfelds. Meine Frage an Sie lautet dann: Können wir eine massive Spin-1-Darstellung der Poincare-Gruppe in eine masselose Spin-1-Darstellung und eine Spin-0-Darstellung zerlegen?

Prahar

Wenn ja, dann sollten wir im Prinzip in der Lage sein, eine Kombination der zu finden

A_{μ}

$A_\mu$ , das sich wie ein masseloses Spin-1-Feld umwandelt. Wir haben dann einen Operator (nenn es

O

$O$ ), das ein Eichboson erzeugt. Dann die Theorie wo

A_{μ}

$A_\mu$ wird mit Lehre fixiert

A_{μ}

$A_\mu$ die Darstellung des masselosen Spin-1-Teilchens entspricht der Theorie wo

ϕ

$\phi$ ist spurfest und

O

$O$ stellt das masselose Spin-1-Teilchen dar (mit Äquivalent meine ich, dass sie unter der oben erwähnten Operatoridentifikation die gleichen Observablen liefern). Ist das richtig?

Benutzer1504

Sie können den zugrunde liegenden Vektorraum zerlegen, aber die Darstellungen werden nicht zerlegt. Die Fehlanpassung wird jedoch mit der Masse verschwinden.

Lehrenfixierung und Freiheitsgrade

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Benutzer1504

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Benutzer1504

Prahar

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Prahar

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Benutzer1504

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