Messgerätefixierung eines beliebigen Feldes: Off-Shell- & On-Shell-Freiheitsgrade

In dieser Antwort fassen wir die Ergebnisse zusammen. Die Analyse selbst findet sich in Lehrbüchern, siehe z. B. Refs. 1 & 2.

$\downarrow$Tabelle 1: Masseloser Spin$j$Feld ein$D$Dimensionen der Raumzeit.

$$\begin{array}{ccc} \text{Massless}^1 & \text{Off-shell DOF}^2 & \text{On-shell DOF}^3 \cr j=0 & 1 & 1 \cr j=\frac{1}{2} & n & \frac{n}{2} \cr j=1 & D-1 & D-2 \cr j=\frac{3}{2} & n(D-1) & \frac{n}{2}(D-3) \cr j=2 & \frac{D}{2}(D-1) & \frac{D}{2}(D-3) \cr \vdots &\vdots &\vdots \cr \text{Integer spin }j\in\mathbb{N}_0 & \begin{pmatrix} D+j-2 \cr D-2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} D+j-5 \cr D-2 \end{pmatrix}& \begin{pmatrix} D+j-4 \cr D-4 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} D+j-5 \cr D-4 \end{pmatrix}\cr \text{Integer spin }D=4 & j^2+2 & 2-\delta^j_0 \cr \text{Integer spin }D=5 & \frac{1}{6}(2j+1)(j^2+j+6) & 2j+1\cr \vdots &\vdots &\vdots \cr \text{Half-int. spin }j\in\mathbb{N}_0+\frac{1}{2} & n\begin{pmatrix} D+j-\frac{5}{2} \cr D-2 \end{pmatrix}+ n\begin{pmatrix} D+j-\frac{9}{2} \cr D-2 \end{pmatrix}& \frac{n}{2}\begin{pmatrix} D+j-\frac{9}{2}\cr D-4 \end{pmatrix} \cr \text{Half-int. spin }D=4 &n(j^2+\frac{3}{4}) &\frac{n}{2} \cr \text{Half-int. spin }D=5 &\frac{n}{6}(2j+1)(j^2+j+\frac{9}{4}) &\frac{n}{4}(2j+1) \cr \vdots &\vdots &\vdots \cr \end{array}$$

$^1$Gehen Sie für massive Multipletts um 1 Raumzeitdimension nach oben, dh ändern Sie sich$D\to D+1$(ohne die Nummer zu ändern$n$von Spinorkomponenten). Beispielsweise hat der On-Shell-DOF für massive 4D-Felder bekanntermaßen einen Faktor$2j+1$, vgl. die Reihe$D=5$in Tabelle 1.

$^2$Off-Shell-DOF = # (Komponenten) - # (Gauge-Transformationen).

$^3$On-Shell-DOF = # (Helizitätszustände) = (klassischer DOF)/2, wobei klassischer DOF = # (Anfangsbedingungen).

$n$=# (Spinorkomponenten). Hat zB einen Dirac Spinor$n=2^{[D/2]}$komplexe Komponenten, während ein Majorana Spinor hat$n=2^{[D/2]}$echte Komponenten,

$\downarrow$Tabelle 2: Antisymmetrisch$p$-form Messpotential in$D$Raumzeitdimensionen,$p\in\mathbb{N}_0$.

$$\begin{array}{ccc} p\text{-form gauge potential}& \text{Off-shell DOF} & \text{On-shell DOF} \cr & \begin{pmatrix} D-1 \cr p \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} D-2 \cr p \end{pmatrix} \cr \end{array}$$

Verweise:

1. DZ Freedman & A. Van Proeyen, SUGRA, 2012.

2. H. Nastase, Einführung in SUGRA, arXiv:1112.3502 ; Kapitel 5.

Vielleicht wird es vor allem die Antwort auf Ihre Frage sein.

Es ist bequem, die Felder aufgrund der Wigner-Klassifikation der Poincare-Gruppendarstellung zu klassifizieren. Nehmen Sie zunächst nur den masselosen Fall an. In diesem Fall gibt es keine Massen-Casimir-Operatoren$\hat {P}^{2}$und Spin Casimir-Operator$\hat {W}^{2}$, aber der Pauli-Lubanski-Operator ist proportional zum 4-Impuls-Operator mit Faktor$\hat {h} = \frac{(\hat {\mathbf S} \cdot \hat {\mathbf p})}{|\mathbf p|}$was als Helizität bezeichnet wird. Es ist ein unveränderlicher Operator (für masselose Felder), also können wir Felder danach klassifizieren. Der Zustand mit fester Helizität darf nur mit dem entgegengesetzten Zustand verbunden werden; es ist möglich, wenn die Theorie unter räumlichen Inversionen unveränderlich ist. Für ein masseloses Feld eines beliebigen Spins gibt es also nur zwei (maximale) Freiheitsgrade. Mit dieser Interpretation können Sie das Eichfixierungsverfahren nur als das Kriterium der Irreduzibilität (Masse-Null) der (Poincare-Gruppe) Darstellung des Feldes verstehen, und die Antwort auf Ihre Frage nach dem Zählen der Freiheitsgrade ist immer zwei.

Um besser zu verstehen, wie die Fixierung des Messgeräts die Anzahl der Freiheiten verringert, nehmen wir an, dass die massive Spin-$s$Fall. Verwenden wir die Irreduzibilitätsbedingungen $(1)-(4)$dafür. Sie verlassen nur$2s + 1$Freiheitsgrade (am Anfang waren es$4^{s}$Komponenten). Danach legen wir die Masse fest$m$In$(1)$bis Null. Dann konditionieren$(2)$wird einen zusätzlichen Freiheitsgrad schneiden.

Zum Beispiel Spin-One-Feld:

Legen wir fest$m$bis Null. Dann bedeutet dies zusätzliche Spurfreiheit, und wir können festlegen$u^{\mu}A_{\mu} = 0$für einen beliebigen zeitartigen 4-Vektor$u_{\mu}$. Es verringert die Anzahl der Freiheitsgrade um eins. Es ist möglich, weil es Transformationen gibt$A_{\mu} \to A_{\mu} + \partial_{\mu} f$, was die erste Gleichung von erfüllen kann$(5)$. Wir erhalten also zwei Freiheitsgrade.

Spin-Two-Feld:

Legen wir fest$m$bis Null. Dann können wir einstellen$u_{\mu}A^{\mu \nu} =0$, wodurch weitere 3 Freiheitsgrade geschnitten werden (der vierte ist gleich einem von$\partial_{\mu}A^{\mu \nu} = 0$, also wieder 2 Grad. Es ist möglich, weil es Spurtransformationen gibt$A_{\mu \nu} \to A_{\mu \nu} + \partial_{\mu} f_{\nu} + \partial_{\nu} f_{\mu}$was die erste Gleichung von erfüllen kann$(5)$.