Windungszahl in der Topologie magnetischer Monopole

Ich lese über magnetische Monopole aus verschiedenen Quellen, z. die Jeff Harvey-Vorlesungen. . Es spricht von etwas, das die Wicklung genannt wird N , die zur Berechnung des magnetischen Flusses verwendet wird. Ich habe im Internet gesucht, kann aber die Berechnung in diesem speziellen Fall nicht nachvollziehen.

G = − 1 8 ∫ S ∞ 2 T R ( [ D Φ ^ , D Φ ^ ] , Φ ^ )

Dann sagt der Autor das

Jetzt Φ beschränkt sich auf eine Karte Φ : S ∞ 2 → S 2 , wobei das Ziel die Einheitskugel ist S u ( 2 ) . Diese Karte hat einen gewissen Grad N , und es ist leicht zu überprüfen, dass die rechte Seite der obigen Gleichung ist − 2 π mal dies. Deshalb G = − 2 π N .

Was ist N , die Windungszahl wird auch als Grad auf der Karte bezeichnet? Nach dem, was ich gelernt habe, ist es die Häufigkeit, mit der Sie ein Objekt auf das andere wickeln, dann sollte das Integral nicht sein N ∗ 4 π , als 4 π ist die Oberfläche von S 2 .

Ich nehme an, Sie arbeiten mit der SU(2)-Yang-Mills-Higgs-Theorie, richtig? was ist Φ ^ ? Ist dieses Skalarfeld die Zeitkomponente eines statischen Eichpotentials in Minkowski, nachdem eine Dimensionsreduktion vorgenommen wurde?
@JorgeCampos, ich arbeite mit SU(2)-Yang-Mühlen. Φ ^ , ist der Winkelteil des Higgs-Feldes. Das gesamte Higgs-Feld ist gegeben durch Φ = H Φ ^ , Wo H , ist eine Funktion des radialen Abstands R , wo Norm Φ ^ = 1 .

Antworten (2)

Ich habe die Gleichung und das Argument, das Sie in diesem Papier zitiert haben, nicht gefunden. Aber ja, es ist der Brouwer-Abschluss, deg ( Φ ^ ) , was der Monopolzahl entspricht

N ≡ 1 4 π ∫ R 3 T R ( F A ∧ D A ( Φ ) ) = 1 4 π ∫ R 3 D ( T R ( Φ ) F A ) = 1 4 π ∫ S ∞ 2 T R ( Φ F A )
= 1 4 π ∫ S ∞ 2 T R ( Φ ^ F A )

wobei man die Bianchi-Identität, den Satz von Stokes, verwendet hat, um die ersten beiden Gleichheiten zu erhalten, und Jaffe & Taubes in ihrem Buch zeigen, dass man ersetzen kann Φ von Φ ^ . Das deckt sich nun mit dem Brower-Grad, für den es eine explizite Formel gibt:

N = D e G ( Φ ^ ) = − 1 4 π ∫ S ∞ 2 T R ( Φ ^ D Φ ^ ∧ D Φ ^ ) ∈ Z = π 2 ( S 2 ) = [ S 2 , S 2 ]
(was Sie geschrieben haben.) Dies wird physikalisch als unendliches Wandpotential verstanden, das die Monopolsektoren trennt, die verschiedenen ganzen Zahlen entsprechen. Um Ihre Frage tatsächlich zu beantworten, können Sie dieses Integral für die t'Hooft-Polyakov-Monopollösung berechnen, für die
ϕ ^ = ( Sünde ⁡ ( θ ) cos ⁡ ϕ , Sünde ⁡ θ Sünde ⁡ ϕ , cos ⁡ θ ) ich ⋅ σ ich ,
und du wirst finden
N = − 1 4 π ∫ S ∞ 2 T R ( Φ ^ D Φ ^ ∧ D Φ ^ ) = + 1 4 π ∫ [ 0 , 2 π ] ∫ [ 0 , π ] Sünde ⁡ θ D θ ∧ D ϕ = 1.

Ich habe diese Frage genau deshalb gestellt, weil ich nicht weiß, was ein Brower-Abschluss ist. Ich konnte sie aus dem Internet nicht verstehen, da ich mich auf algebraische Topologie beziehe, die ich nicht studiert habe. Könnten Sie bitte erklären, was das ist und wie Sie zu der expliziten Formel des Brauergrades gekommen sind?
Ich werde das bald beantworten; Ich überarbeite ...

N ist gleich der Anzahl der Punkte in der S 2 Sphäre im Unendlichen abgebildet auf den gleichen Punkt der S 2 Higgs-Vakuumverteiler. Das Integral ist eine topologische Invariante, die nur von dieser Zahl und nicht von den Details der Karte abhängt. Im Folgenden beschreibe ich Ihnen eine Familie dieser Karten:

Eine Möglichkeit, das Integral durchzuführen, besteht darin, die stereographische Projektionskoordinate zu verwenden :

z = T A N ( θ 2 ) e ich ϕ

In diesem Koordinatensystem eine Karte der Windungszahl N sieht so aus:

z → Z = z N

Das Oberflächenelement der Kugel in diesen Koordinaten ist:

D μ = D z D z ¯ 1 + z z ¯

Anmerkung: In diesen Koordinaten sind die Higgs-Komponenten gegeben durch:

Φ X = 2 R e ( Z ) 1 + Z Z ¯

Φ j = 2 ICH M ( Z ) 1 + Z Z ¯

Φ z = 1 − Z Z ¯ 1 + Z Z ¯

Unter Verwendung dieser Koordinaten ist es nicht schwer zu erkennen, dass der ganzzahlige Wert von (1,43) N ist.

Windungszahl in der Topologie magnetischer Monopole
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