Zählen von Freiheitsgraden in Feldtheorien

Sie sollten Ihre Frage wirklich aufteilen. Ich werde den Teil beantworten, in dem Sie nicht verstehen, wie das Zählen von Freiheitsgraden funktioniert.

Grundsätzlich zählen wir die Anzahl der sich ausbreitenden (physikalischen) Freiheitsgrade pro Raumzeitpunkt . Natürlich ist die Gesamtzahl der Freiheitsgrade unendlich, weil die Raumzeit kontinuierlich ist und eine unendliche Anzahl von Punkten hat, aber nach der Anzahl der Freiheitsgrade pro Raumzeitpunkt zu fragen, ist eine vernünftige Forderung. Denken Sie daran, dass wir uns nur um physikalische Freiheitsgrade kümmern, womit wir diejenigen meinen, die richtig normalisiert werden können.

Sie stellen richtig fest, dass Photonen außerhalb der Schale sein können, aber sie sind nur diejenigen, die an internen Prozessen beteiligt sind. Externe Photonen befinden sich immer auf der Schale. Außerdem ist die Eichinvarianz eine physikalische Eigenschaft. Externe Felder, die Sie in Ihrem Labor messen, sollten unabhängig von Ihrem gewählten Messgerät sein. Mit anderen Worten, die S-Matrix sollte eichinvariant sein. Andererseits hindert mich nichts daran, eichgebrochene interne Prozesse zu haben, wenn ich letztendlich die S-Matrix eichinvariant machen kann. Daher sollte das Wort "physikalisch" Ihnen fast immer ein Bild von externen, auf der Hülle unveränderlichen Größen vermitteln.

Also ja, die Redundanz der Messgeräte tötet einen Freiheitsgrad, und wenn wir über die Verbreitung physikalischer Freiheitsgrade sprechen, wird ein weiterer auf der Hülle getötet. Sie müssen verstehen, wie das passiert. Es ist nicht so, dass jedes Mal, wenn Sie eine Bewegungsgleichung sehen, ein Freiheitsgrad zerstört wird. Das Töten von Freiheitsgraden erfordert einen aufwändigen Prozess zum Auferlegen von Beschränkungen für die Bewegungsgleichung, bekannt als Gauge-Fixing . Und das muss von Fall zu Fall geschehen.

Betrachten Sie zum Beispiel die vier Bewegungsgleichungen (getrennt in zeitliche und räumliche Sätze) für das masselose Photon$A^\mu = (\phi, \vec A)$Beschreiben von vier On-Shell-Freiheitsgraden wie folgt.

$$\begin{align*} -\Delta \phi + \partial_t \vec\nabla\cdot\vec A = 0\,,\\ \square \vec A - \vec\nabla(\partial_t\phi-\vec\nabla\cdot\vec A) = 0\,.\\ \end{align*}$$

Da diese Gleichungen eine Eichsymmetrie aufweisen$A_\mu \to A'_\mu := A_\mu + \partial_\mu \alpha_1(x)$, können wir versuchen, das Messgerät zu reparieren , indem wir wählen$\alpha_1$so dass es zum Beispiel eine Lösung von ist$\square \alpha_1 = -\vec\nabla\cdot\vec A$, geben uns

$$\begin{align*} \Delta \phi' = 0\,, \\ \square \vec A' - \vec\nabla\partial_t\phi' = 0\,. \\ \\ \vec\nabla\cdot\vec{A}'=0\,.\\ \end{align*}$$

Wir haben ein divergenzfreies Feld gewählt, die sogenannte Coulomb-Eichung. Unter dieser Wahl wird das elektrische Potential sich nicht ausbreitend, das heißt, es gibt keine kinetischen Terme in der Lagrange-Funktion dafür (beachten Sie das$\Delta \phi' = 0$hat keine Zeitableitungen).

Im Impulsraum lautet diese Eichbedingung$\vec p \cdot \vec \epsilon = 0$Wo$\vec \epsilon$ist der Polarisationsvektor (Fourier-Transformation des magnetischen Potentials). Es gibt drei Lösungen für diese Einschränkung. Auswahl eines Rahmens, in dem$p^\mu = (E,0,0,E)$, finden wir, dass die drei Polarisationsvektoren sind

$$\epsilon^\mu_1 = (0,1,0,0), \qquad \epsilon_2^\mu=(0,0,1,0), \qquad \epsilon_t^\mu = (1,0,0,0)$$

Die dritte Polarisation ist zeitartig und kann daher nicht normiert werden. Es ist unphysisch, und wir müssen es loswerden. Glücklicherweise ist die Eichsymmetrie nicht erschöpft. Es gibt mehr verfügbare Auswahlmöglichkeiten für Eichtransformationen, die das Coulomb-Eichgerät erhalten$\vec p \cdot \vec \epsilon = 0$. Zum Beispiel könnten wir von gehen$A'_\mu \to A_\mu:= A'_\mu + \partial_\mu \alpha_2(x)$so dass$\Delta \alpha_2 = 0,\ \partial_t \alpha_2 = - \phi'$was die Divergenz und Mengen beibehält$\phi = 0$.

Beachten Sie, dass wir dieses Mal sicherstellen müssen, dass diese Spurumwandlung auf der Hülle stattfindet, nämlich das$\Delta \phi = 0$, andernfalls wird diese Messgerät-Fixierung inkonsistent, weil$\Delta \alpha_2 = 0 \Rightarrow$ $0 = \Delta \partial_t\alpha_2 = - \Delta\phi' \ne 0$aus der Schale. Mit anderen Worten, verlangen$\phi = 0$, oder gleichwertig$\epsilon^0 = 0$, um unphysikalische Freiheitsgrade loszuwerden, erfordert von uns, auf der Hut zu sein.

Zusammenfassend haben wir eine Wahl für ein Off-Shell-Messgerät getroffen$\vec p \cdot \vec \epsilon = 0$, eine On-Shell-Gauge-Wahl$\epsilon^0 = 0$und unsere Bewegungsgleichung wurde$p^2 = 0$. Nachdem wir unsere Auswahlmöglichkeiten erschöpft haben, finden wir nur zwei physikalische Polarisationsmodi oder Freiheitsgrade.

Sie verstehen jetzt, dass das bloße Vorhandensein einer Bewegungsgleichung keinen Freiheitsgrad verschlingt. Um die richtige Anzahl von Freiheitsgraden zu finden, treffen Sie weitere Wahlen für die Messgeräte (Erzeugung unabhängiger Beschränkungsgleichungen), einige außerhalb der Schale und andere innerhalb der Schale, bis Sie Ihre Messgerätfreiheit erschöpft haben. Prüfen Sie dann, wie viele Freiheitsgrade Sie noch haben. Wenn Sie bemerken, dass ein unkörperlicher Typ auftaucht, haben Sie höchstwahrscheinlich noch nicht Ihre gesamte Messgerätefreiheit aufgebraucht und Sie haben immer noch genug Flexibilität, um diesen Typen zu erschießen. Zählen Sie dann alles, was Sie übrig haben. Das ist Ihre Antwort.

Ich habe sehr begrenzte Kenntnisse darüber, aber ich kann versuchen, eine teilweise Antwort zu geben.

Das 4-Potenzial$A^\mu$hat vier Freiheitsgrade (dof), aber zwei davon sind unphysikalisch und können eliminiert werden, indem die Invarianz des Elektromagnetismus unter Eichtransformationen ausgenutzt wird$A^\mu \rightarrow {A^\prime}^\mu = A^\mu + \partial^{\,\mu} f$. Wir können zum Beispiel nehmen$\partial_\mu {A^\prime}^\mu \equiv 0$so lange wie$f$erfüllt$\square\,f=-\partial_\mu A^\mu$:

${A^\prime}^\mu = A^\mu + \partial^{\,\mu} f \Longrightarrow \partial_\mu{A^\prime}^\mu \equiv 0 = \partial_\mu A^\mu + \square\,f \Longrightarrow \square\,f = -\partial_\mu A^\mu$

Zustand$\partial_\mu {A^\prime}^\mu \equiv 0$, bekannt als Lorenz-Eichung, gibt Ihnen eine Beziehungsgleichung$A_0, A_1, A_2$Und$A_3$, daher entfernt es einen von vier dof

Der letzte unphysikalische dof wird entfernt, da noch etwas Freiheitsgrad zu erkunden ist. Sicherstellen$\partial_\mu {A^\prime}^\mu \equiv 0$Alles, was wir tun müssen, ist eine Funktion zu verwenden$f$befriedigend$\square\,f = -\partial_\mu A^\mu$. Es ist jede Funktion klar$f_0$befriedigend$\square\,f_0\equiv 0$können ergänzt werden$f$unter Beibehaltung$\partial_\mu {A^\prime}^\mu \equiv 0$intakt. Diese letzte Freiheit entfernt einen weiteren Dof, wie wir nehmen können${A^{\prime\prime}}^\mu = {A^\prime}^\mu + \partial^{\,\mu} f_0$und wählen Sie eine geeignete Lösung von$\square\,f_0\equiv 0$.

Der letzte Absatz lässt sich am besten anhand eines Beispiels verstehen. Im freien Raum mit der Lorenz-Lehre$\partial_\mu {A^\prime}^\mu \equiv 0$, das 4-Potenzial erfüllt$\square\, {A^\prime}^\mu = 0$. Betrachten Sie die Lösung für eine ebene Welle, die sich entlang ausbreitet$z$Achse:${A^\prime}^\mu = \mathcal{A}\, \varepsilon^\mu \cos(kz-\omega t)$, Wo$\mathcal{A}$ist die Amplitude der Welle,$\omega=|k|$(Ich verwende natürliche Einheiten wo$c\equiv 1$), Und$\varepsilon^\mu$ist der Polarisationsvektor. Sie können den Zustand des Messgeräts überprüfen$\partial_\mu {A^\prime}^\mu \equiv 0$für den Polarisationsvektor erfüllt ist$\varepsilon^\mu$gewählt als$\varepsilon^\mu_{(x)} = (0,1,0,0)$oder$\varepsilon^\mu_{(y)} = (0,0,1,0)$, oder eine Kombination davon. Diese entsprechen den beiden physikalischen dof, die mit horizontaler und vertikaler Polarisation verbunden sind.

Für dieses Beispiel beziehen sich die beiden unphysikalischen dof auf Polarisationsvektoren$\varepsilon^\mu_{(t)} = (1,0,0,0)$Und$\varepsilon^\mu_{(z)} = (0,0,0,1)$, entsprechend "zeitlicher" bzw. longitudinaler Polarisation. Obwohl${A^\prime}^\mu$mit$\varepsilon^\mu = \varepsilon^\mu_{(t)}$oder$\varepsilon^\mu = \varepsilon^\mu_{(z)}$erfüllt die Bewegungsgleichung$\square\,{A^\prime}^\mu=0$, es wird die Lorenz-Eichung nicht befriedigen$\partial_\mu {A^\prime}^\mu \equiv 0$. Dennoch, wenn der Polarisationsvektor als Kombination genommen wird$\varepsilon^\mu = c_1 \varepsilon^\mu_{(t)} + c_2 \varepsilon^\mu_{(z)}$, für Konstanten$c_1$Und$c_2$, Lorenz Gauge ist zufrieden, sobald wir auferlegen$c_1 = c_2$. Aus diesem Grund bleibt uns nur noch eine unphysikalische Möglichkeit, schließlich zu wählen$f_0$(aus den vorherigen Absätzen) als$\mathcal{A}\,\frac{c_1}{\omega}\sin(kz-\omega t)$, können Sie die Lösung überprüfen${A^{\prime\prime}}^\mu = \mathcal{A}\,c_1(\varepsilon^\mu_{(t)}+\varepsilon^\mu_{(z)})\cos(kz-\omega t) + \partial^{\,\mu} f_o$identisch verschwindet, was bedeutet, dass sich der letzte unphysikalische dof tatsächlich nicht ausbreitet.

Das ist mit den Freiheitsgraden des elektromagnetischen Feldes gemeint: Ebene Wellenlösungen haben zwei mögliche Polarisationen (oder Kombinationen davon), beide sind räumlich und quer zur Ausbreitungsrichtung. In der zweiten quantisierten Theorie bedeutet dies den Spin eins der Photonen ($s=1$) hat nur zwei mögliche Orientierungen relativ zu seiner Bewegung: parallel ($m_s=+1$, positive Helizität) oder antiparallel ($m_s=-1$, negative Helizität). Beachten Sie, dass dies eine ganz andere Bedeutung hat als die Aussage „Feldtheorien haben unendliche Freiheitsgrade“, die sich auf die Beschreibung einer unendlichen Anzahl von Punkten in der Raumzeit beziehen (im Gegensatz zu einer endlichen Anzahl in der Teilchenmechanik).

Das einzige Zählen von DOF, das man hat, wird in der Hamilton-Analyse durchgeführt, dh man beginnt mit einem gültigen Lagrange-Operator (Dichte) und berechnet den Hamilton-Operator (Dichte). Wenn Einschränkungen gefunden werden (z. B. die Yang-Mills-Felder für eine SU(N)-Eichgruppe), gibt die allgemeine Formel einfach die Nettozahl der Felder zurück (was als Parametrisierung des reduzierten Phasenraums unter dem Dirac angesehen werden kann Klammer).

Beispiel : Das Eichfeld U(1) [klassischer Elektromagnetismus]. Die Anzahl der Lagrange-Felder (DOF) =$4 \times \infty$. Die Hamilton-Analyse gibt 2 Einschränkungen zurück (eine primäre, eine sekundäre, beide 1. Klasse), daher ist die wahre Anzahl von Freiheitsgraden des U(1)-Eichfelds$2\times\infty$.

Kurz gesagt: Das Photonenfeld wird „bequem“ als Viervektorfeld eingeführt, hat nämlich an jedem Raumpunkt vier Freiheitsgrade (also unendlich viele, aber nur zwei, wenn man nur einen Punkt betrachtet). Ein reelles Feld hat eins, ein komplexes eins zwei... (pro Raumpunkt). Das Wort „bequem“ hängt mit dem Problem der Eichfreiheit zusammen: Unterschiedliche Photonenfelder können dieselbe physikalische Situation beschreiben.

Messgerätefreiheit = Ihre Theorie ist überflüssig (Messgerätefixierung = diese Redundanz beheben).

Unter Verwendung der klassischen Eichfreiheit (nicht der Bewegungsgleichungen), die Sie seit Grundkursen kennen, können Sie die vier Freiheitsgrade des Photons auf nur zwei (pro Raumpunkt) reduzieren.