Was ist eine Eichtheorie?

1. Eine Eichsymmetrie ist einfach eine Symmetrietransformation der Aktion, die nicht trivial von der Raumzeit abhängt. Man kann bei allen physikalischen Theorien fragen, ob es solche Transformationen gibt. Für den Fall der Teilchenmechanik endlich vieler Freiheitsgrade (wobei die Eichsymmetrie dann nur noch von der Zeit abhängt) ist bekannt, dass die Existenz einer Eichsymmetrie einer Nebenbedingung in der Hamiltonschen Formulierung entspricht. Solche Einschränkungen ergeben sich aus der Legendre-Transformation der Lagrange-Funktion, die nicht umkehrbar ist, daher die Bedingung

   $$\det\left(\frac{\partial L(q,\dot{q})}{\partial\dot{q}\partial\dot{q}}\right) = 0,$$ mit$L$die Lagrange und$q,\dot{q}$die verallgemeinerten Koordinaten erkennen das Vorhandensein von Spursymmetrien. Eine sehr gute Referenz für die eingeschränkte Hamiltonsche Sicht auf Eichtheorien und ihre Quantisierung durch das BRST-Verfahren ist das Buch "Quantization of gauge systems" von Henneaux und Teitelboim .

2. Wenn ein Physiker von einer „Eichtheorie“ spricht, meint er damit in der Regel nicht den sehr allgemeinen Fall einer „Theorie mit Eichsymmetrie“ aus Punkt 1 (aber manchmal meinen sie diesen – achten Sie auf den Zusammenhang!). Sie meinen oft eine Theorie mit einem Eichfeld , wie die Yang-Mills-Theorie (siehe auch diese Antwort von mir ) oder die Chern-Simons-Theorie . Die "Kontroverse" darüber, ob "GR eine Eichtheorie ist", rührt von der Tatsache her, dass das "Eichfeld" von GR die Christoffel-Symbole sind, die als nicht dynamische Felder gelten, die von der Metrik abgeleitet sind, es sei denn, Sie verwenden den Palatini-Formalismus .$\mathrm{U}(1)$.

3. Es ist ein ziemlich tiefes Ergebnis der Quantenfeldtheorie, dass jedes masselose Vektorfeld ein Eichfeld ist. Für einen sehr kurzen Überblick über die Argumentation siehe den letzten Teil dieser Antwort von mir . Die Einschränkung$\pi^0 \approx 0$für den damit verbundenen kanonischen Impuls$A^0$ist kein Merkmal der Eichtheorie, sondern einfach ein Merkmal aller Vektorfelder - selbst ein massives Vektorfeld "leidet" unter dieser Einschränkung. Diese Randbedingung erzeugt natürlich formal auch eine gewisse Eichsymmetrie im Sinne von Punkt 1, aber diese Symmetrie lässt sich leicht durch Eichfixierung beseitigen. Die Einschränkung, die den Elektromagnetismus zu einer "Eichtheorie" macht, ist die sekundäre Einschränkung , die sich aus der Konsistenzbedingung ergibt$\dot{\pi}^0 \approx 0$, was ergibt$\partial_i \pi^i \approx 0$, das ist das Gesetz von Gauß! ¹ Zusammen mit der Eichfixierung für die erste Transformation hat die halbfeste Theorie eines masselosen Vektorfeldes dann die bekannte Resteichsymmetrie$A^i \mapsto A^i + \partial^i \epsilon$für jede Funktion$\epsilon$. Noch einmal, wenn Sie dies im formalen Detail studieren möchten, empfehle ich das Buch von Henneaux/Teitelboim, in dem das Beispiel der Maxwellschen Theorie Kapitel 19 ist.

4. Es ist "einfach", zusätzliche Freiheitsgrade künstlich in einen Hamilton-Operator einzuführen, der redundant ist, was dazu führt, dass die Hamilton-Theorie eingeschränkt wird und daher die Aktion Eichsymmetrien entwickelt, siehe diese Antwort von mir . Es ist auch "einfach", Eichfelder in einen Lagrangian einzuführen, indem Sie einfach alle Felder unter einer beliebigen Eichgruppe als ungeladen deklarieren und der Aktion den entsprechenden Yang-Mills-Begriff hinzufügen. Dies ist natürlich völlig nutzlos, da diese Felder mit nichts interagieren und Sie sie einfach weglassen können.

^{1 Beachten Sie, dass dies eine wahrgenommene Symmetrie zwischen den elektrischen und magnetischen Feldgleichungen bricht – im Aktionsformalismus mit dem Vektorpotential als dynamischer Variable ist das Gaußsche Gesetz keine Bewegungsgleichung, es wird vor dem Lösen der Bewegungsgleichungen erfüllt! Siehe auch diese Antwort von mir .}