Können wir die Dirac-Darstellung zu einer Eichtheorie machen?

Question

Können wir die Dirac-Darstellung zu einer Eichtheorie machen?

Physik
Feldtheorie
Eichtheorie
Dirac-Gleichung
Dirac-Matrizen
Eichinvarianz

Cham

Ich suche nach Kommentaren und Referenzen zu einer Idee: Messen der Dirac-Darstellung der Dirac-Matrizen. Welche Art von Feldwechselwirkung würde es geben?

Insbesondere ist die Dirac-Gleichung wie folgt definiert (zunächst im freien Feld):

\begin{matrix} (1) & γ^{A} \partial_{A} Ψ + ich M Ψ = 0. \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{1} \gamma^a \; \partial_a \Psi + i \, m \, \Psi = 0. \end{equation}$ Per Definition gehorchen die Gammamatrizen der folgenden Beziehung:

\begin{matrix} (2) & γ^{A} γ^{B} + γ^{B} γ^{A} = 2 η^{A B} . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{2} \gamma^a \, \gamma^b + \gamma^b \, \gamma^a = 2 \, \eta^{ab}. \end{equation}$ Jeder Satz von 4 Matrizen, die dieser Beziehung gehorchen, kann in Gleichung (1) oben verwendet werden (übliche Dirac-Darstellung, Weyl-Darstellung, Majorana-Darstellung usw.). Alle Darstellungen sind durch eine einheitliche Transformation verbunden:

\begin{aligned} (3) & {\tilde{γ}}^{A} & = U γ^{A} U^{†}, \\ (4) & \tilde{Ψ} & = U Ψ . \end{aligned}

$\begin{align}\tag{3} \tilde{\gamma}^a &= U \, \gamma^a U^{\dagger}, \\[12pt] \tilde{\Psi} &= U \, \Psi. \tag{4} \end{align}$

Nehmen wir nun an, dass die Darstellung eine lokale Symmetrie der Dirac-Gleichung wird; $U \Rightarrow U(x)$ . Wir müssen dann die partielle Ableitung ändern:

\begin{matrix} (5) & \partial_{A} \Rightarrow D_{A} \equiv \partial_{A} + ich C_{A} (X), \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{5} \partial_a \Rightarrow D_a \equiv \partial_a + i C_a(x), \end{equation}$ Wo

C_{a} (x)

$C_a(x)$ ist ein neues Eichfeld.

Diese Idee habe ich aus Zeitmangel nicht weiter verfolgt. Aber ich würde gerne wissen, ob diese Idee von jemand anderem erforscht wurde (sicherlich wurde sie schon vorher untersucht!).

Was gibt es also? Was für ein Interaktions-Eichfeld? Gibt es ein mathematisches Problem damit?

EDIT: Nur noch ein paar Kommentare:

Die auf das Dirac-Feld wirkende Lorentz-Gruppe wird vertreten durch $SL(4, \mathbb{C})$ , und seine Elemente sind nicht alle einheitliche Matrizen: Die Rotationen werden durch einheitliche Matrizen dargestellt, aber nicht die reinen Lorentz-Transformationen.

Die Messung der Lorentz-Gruppe ergibt Gravitation (dies ist allgemein bekannt und ein Teil der klassischen Allgemeinen Relativitätstheorie). Dann messen die $\gamma$ Die Darstellung wird sicherlich das Gravitations-Eichfeld (Veirbein und seine Spin-Verbindung) stören, da einige unitäre Matrizen einige Rotationen darstellen können (aber nicht alle unitären Matrizen!).

Ich glaube nicht, dass die Gruppe der Transformationen, die die ändern $\gamma$ Darstellung ist die gleiche wie die Lorentz-Gruppe (dh $SL(4, \mathbb{C})$ ), aber ich kann mich irren.

Was ist die vollständige Gruppe, die die definiert $\gamma$ Vertretungen ? Muss es wirklich einheitlich sein, dh $SU(4)$ ? Ich vermute, dass es sich nur um Ähnlichkeitstransformationen handelt, daher können alle invertierbaren 4 x 4-Matrizen gut sein, nicht nur einheitliche Matrizen.

Mit anderen Worten, gibt es eine Transformation von $SL(4, \mathbb{C})$ (aus der Lorentz-Gruppe), die die üblichen Dirac-Matrizen in die Weyl-Matrizen und in die Majorana-Matrizen ändern kann?

Robin Ekmann

Dies wäre eine Eichtheorie mit Eichgruppe der Lorentzgruppe. Die Lorentz-Gruppe ist nicht kompakt, was technische Komplikationen bedeutet, so dass dies möglicherweise nicht untersucht wurde. Viele Arbeiten zur Eichtheorie spezifizieren die Eichgruppe nicht, aber ich denke, es ist die Regel anzunehmen, dass sie kompakt ist.

Gerben

Das Rarita-Schwinger-Feld hat eine fermionische Eichsymmetrie. Vielleicht wäre es hilfreich, dies in Betracht zu ziehen. Siehe zum Beispiel: books.google.be/…

ACuriousMind

Es tut mir leid, aber ich verstehe Ihre Frage nicht - Eichsymmetrien sind auf der Ebene der Lagrange -Funktion definiert und müssen durch Transformationen der Felder gegeben sein .

γ \mapsto U γ U^{†}

$\gamma\mapsto U\gamma U^\dagger$ ist keine Transformation eines Feldes und damit keine Vorschrift für eine Symmetrie. Insbesondere kann man diese Symmetrie nicht abschätzen, weil

γ^{a}

$\gamma^a$ hängt zunächst nicht von der Raumzeit ab , also ersetzen

U

$U$ von

U (x)

$U(x)$ macht keinen Sinn. Auch die Lorentz-Gruppe (oder genauer gesagt ihre universelle Abdeckung) ist

S L (2, C)

$\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ , nicht

S L (4, C)

$\mathrm{SL}(4,\mathbb{C})$ .

Cham

@ACuriousMind,

S L (4, C)

$SL(4, \mathbb{C})$ IST eine Darstellung der Lorentz-Gruppe für das Dirac-Feld.

S L (2, C)

$SL(2, \mathbb{C})$ wirkt nicht auf das Dirac-Feld, das ein 4-Komponenten-Spinor ist. Auch der

γ

$\gamma$ Repräsentation ist eine globale Symmetrie des Dirac-Lagrangians (das Ändern der Repräsentation bedeutet, dass Sie die Feldrepräsentation selbst ändern, nicht nur die

γ

$\gamma$ 'S). Es KANN eine lokale Symmetrie gemacht werden, genau wie für die globale

U (1)

$U(1)$ Phasensymmetrie. Es macht also Sinn.

ACuriousMind

Sie verwenden eine nicht standardisierte Terminologie. Die Dirac-Darstellung ist ein Gruppenhomomorphismus

S L (2, C) \to G L (4, C)

$\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})\to\mathrm{GL}(4,\mathbb{C})$ , Aber

S L (4, C)

$\mathrm{SL}(4,\mathbb{C})$ ist keine "Repräsentation der Lorentz-Gruppe". Die Verwandlung

γ \mapsto U γ U^{†}

$\gamma\mapsto U\gamma U^\dagger$ ist keine "Symmetrie" der Lagrangefunktion im formalen Sinne, da Symmetrien durch Feldtransformationen und gegeben sein müssen

γ

$\gamma$ ist kein Feld , sondern eine Konstante. Es ist etwas, was man mit dem Lagrange machen kann, aber es ist keine Symmetrie, und es macht keinen Sinn, von "Messen" zu sprechen.

Cham

@ACuriousMind, ich stimme nicht zu. Beim Lagrangian ändern Sie das Feld mit einer Matrix

U

$U$ (Mischen der Spinorkomponenten). Um den Lagrangian unverändert zu lassen, müssen Sie das fragen

U

$U$ auch die ändern

γ

$\gamma$ Matrizen (dann ist es eine Repräsentationsänderung). Dies kann lokal erfolgen . Dann ist die

γ

$\gamma$ 's werden selbst zu Feldern. Dies kann alles mit der Schwerkraft zusammenhängen.

Gerben

@Cham, da Sie das immer noch diskutieren; Fehlt etwas an meiner Antwort unten / meinst du etwas anderes / soll ich es erweitern?

Cham

@Gerben, deine Antwort passt nicht zu meiner Frage (oder vielleicht ist es eine Verallgemeinerung davon, ich weiß es nicht). Der Dirac-Spinor, an dem ich interessiert bin, ist nicht vom Rarita-Schwinger-Typ (dh Spinor mit einem Koordinatenindex). Außerdem geht es bei meiner Frage sehr darum, die Gruppe der Darstellungen des zu definieren

γ

$\gamma$ Matrizen, und inwiefern unterscheidet sie sich von der Lorentz-Gruppe.

Gerben

Das Rarita-Schwinger-Feld hat eine fermionische Eichsymmetrie; das schien das zu sein, worauf Sie hinauswollten. Es gibt tatsächlich eine Verbindung mit der Schwerkraft, wie Sie vorgeschlagen haben, da dies das Gravitino ergibt; der supersymmetrische Partner der Schwerkraft in der Supergravitation. Das Dirac-Feld kann keine so gemessene Symmetrie haben, da es den Spin-1/2 vollständig wegmisst, sodass nichts übrig bleibt. Wenn Sie sich für die formalen Eigenschaften von interessieren

γ

$\gamma$ Matrizen in einem gruppentheoretischen Kontext: Sie bilden eine sogenannte Clifford-Algebra, und das sollten Sie sich ansehen.

Adam

@Cham: Was ACuriousMind bedeutet, ist das

U

$U$ ist keine Symmetrietransformation von

γ

$\gamma$ . Bei einer Lorentz-Transformation

ψ \to U ψ

$\psi\to U\psi$ ,

\bar{ψ} γ_{μ} ψ \to Λ_{μ}^{ν} \bar{ψ} γ_{ν} ψ

$\bar\psi\gamma_\mu\psi\to\Lambda_\mu^\nu \bar\psi\gamma_\nu\psi$ als 4-Vektor transformieren. Aber an sich

γ_{μ}

$\gamma_\mu$ ist kein 4-Vektor (Lorentz-Transformationen wirken sich nicht aus). Abgesehen davon messen Sie tatsächlich Lorentz-Transformationen.

Cham

@Adam, ja das weiß ich alles. Ich erwäge die Möglichkeit, das zu machen

γ

$\gamma$ als Teil einer neuen Eichsymmetrie, unter ihrer willkürlichen Darstellung . Aber nachdem ich heute ein bisschen mehr darüber nachgedacht hatte, wurde mir klar, dass es wirklich um die Schwerkraft geht! (plus vielleicht noch etwas, ich bin mir noch nicht sicher). Wenn die

γ

$\gamma$ Vertretung erfolgt vor Ort, dann die

γ

$\gamma$ müssen zu dynamischen Feldern werden, anstatt zu einfachen Konstanten (wie ACuriousMind betonte). Aber dann verlangen diese, das auf sie kontrahierte Vierbeinfeld (Tetrade) zu verwenden. Dies impliziert die Schwerkraft . Allerdings ... (siehe unten)

Cham

Allerdings ... die Gruppe der

γ

$\gamma$ Darstellungstransformationen ist einheitlich (ich weiß nicht warum), also ist es nicht die Lorentz-Gruppe. Es enthält die Rotationen (wie die Lorentz-Gruppe), aber es enthält auch seltsame Dinge wie die chirale Transformation , die natürlich nicht Teil der Lorentz-Gruppe ist. Also "messen" die

γ

$\gamma$ Repräsentation braucht Schwerkraft (was zum... !?), oder Konflikt mit ihr. Ich denke also, dass eine Antwort auf meine obige Frage "NEIN, weil die Schwerkraft den Platz einnimmt" lautet!

tom1-4

Es ist auf jeden Fall eine faszinierende Idee. Korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege, aber ich denke, die Dirac-Darstellung ist die Lorentz-Gruppe

(1 / 2, 0) \oplus (0, 1 / 2)

$(1/2,0) \oplus(0,1/2)$ . Und deshalb sollte die Transformationsmatrix die Form haben

A \oplus (A^{- 1})^{†}

$A \oplus (A^{-1})^\dagger$ , Wo

A \in S L (2, C)

$A \in SL(2, \mathbb{C})$ . Schon aus der Analyse der Dimensionalität sollte eigentlich klar sein, dass das nicht sein kann

S L (4, C)

$SL(4,\mathbb{C})$ oder

G L (4, C)

$GL(4,\mathbb{C})$ da beide viel zu viele Freiheitsgrade haben. Und ja, Sie können beliebige Äquivalenztransformationen vornehmen. Wir tun es normalerweise nicht, weil Sie verlieren

γ^{μ †} = γ^{0} γ^{μ} γ^{0}

$\gamma^{\mu \dagger} = \gamma^0 \gamma^\mu \gamma^0$ .

tom1-4

Können Sie vielleicht näher darauf eingehen, wie das mit der Schwerkraft zusammenhängt? Ich sehe einen leichten Zusammenhang mit

{γ^{μ}, γ^{ν}} = 2 η^{μ ν} ⟶ {γ^{μ} (x), γ^{ν} (x)} = 2 g^{μ ν} (x)

$\lbrace \gamma^\mu, \gamma^\nu \rbrace = 2 \eta^{\mu \nu} \longrightarrow \lbrace \gamma^\mu (x), \gamma^\nu (x) \rbrace = 2 g^{\mu \nu}(x)$ aber das war es schon.

Antworten (2)

Können wir die Dirac-Darstellung zu einer Eichtheorie machen?

Dies wäre eine Eichtheorie mit Eichgruppe der Lorentzgruppe. Die Lorentz-Gruppe ist nicht kompakt, was technische Komplikationen bedeutet, so dass dies möglicherweise nicht untersucht wurde. Viele Arbeiten zur Eichtheorie spezifizieren die Eichgruppe nicht, aber ich denke, es ist die Regel anzunehmen, dass sie kompakt ist.
Das Rarita-Schwinger-Feld hat eine fermionische Eichsymmetrie. Vielleicht wäre es hilfreich, dies in Betracht zu ziehen. Siehe zum Beispiel: books.google.be/…
Es tut mir leid, aber ich verstehe Ihre Frage nicht - Eichsymmetrien sind auf der Ebene der Lagrange -Funktion definiert und müssen durch Transformationen der Felder gegeben sein . $\gamma\mapsto U\gamma U^\dagger$ ist keine Transformation eines Feldes und damit keine Vorschrift für eine Symmetrie. Insbesondere kann man diese Symmetrie nicht abschätzen, weil $\gamma^a$ hängt zunächst nicht von der Raumzeit ab , also ersetzen $U$ von $U(x)$ macht keinen Sinn. Auch die Lorentz-Gruppe (oder genauer gesagt ihre universelle Abdeckung) ist $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ , nicht $\mathrm{SL}(4,\mathbb{C})$ .
@ACuriousMind, $SL(4, \mathbb{C})$ IST eine Darstellung der Lorentz-Gruppe für das Dirac-Feld. $SL(2, \mathbb{C})$ wirkt nicht auf das Dirac-Feld, das ein 4-Komponenten-Spinor ist. Auch der $\gamma$ Repräsentation ist eine globale Symmetrie des Dirac-Lagrangians (das Ändern der Repräsentation bedeutet, dass Sie die Feldrepräsentation selbst ändern, nicht nur die $\gamma$ 'S). Es KANN eine lokale Symmetrie gemacht werden, genau wie für die globale $U(1)$ Phasensymmetrie. Es macht also Sinn.
Sie verwenden eine nicht standardisierte Terminologie. Die Dirac-Darstellung ist ein Gruppenhomomorphismus $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})\to\mathrm{GL}(4,\mathbb{C})$ , Aber $\mathrm{SL}(4,\mathbb{C})$ ist keine "Repräsentation der Lorentz-Gruppe". Die Verwandlung $\gamma\mapsto U\gamma U^\dagger$ ist keine "Symmetrie" der Lagrangefunktion im formalen Sinne, da Symmetrien durch Feldtransformationen und gegeben sein müssen $\gamma$ ist kein Feld , sondern eine Konstante. Es ist etwas, was man mit dem Lagrange machen kann, aber es ist keine Symmetrie, und es macht keinen Sinn, von "Messen" zu sprechen.
@ACuriousMind, ich stimme nicht zu. Beim Lagrangian ändern Sie das Feld mit einer Matrix $U$ (Mischen der Spinorkomponenten). Um den Lagrangian unverändert zu lassen, müssen Sie das fragen $U$ auch die ändern $\gamma$ Matrizen (dann ist es eine Repräsentationsänderung). Dies kann lokal erfolgen . Dann ist die $\gamma$ 's werden selbst zu Feldern. Dies kann alles mit der Schwerkraft zusammenhängen.
@Cham, da Sie das immer noch diskutieren; Fehlt etwas an meiner Antwort unten / meinst du etwas anderes / soll ich es erweitern?
@Gerben, deine Antwort passt nicht zu meiner Frage (oder vielleicht ist es eine Verallgemeinerung davon, ich weiß es nicht). Der Dirac-Spinor, an dem ich interessiert bin, ist nicht vom Rarita-Schwinger-Typ (dh Spinor mit einem Koordinatenindex). Außerdem geht es bei meiner Frage sehr darum, die Gruppe der Darstellungen des zu definieren $\gamma$ Matrizen, und inwiefern unterscheidet sie sich von der Lorentz-Gruppe.
Das Rarita-Schwinger-Feld hat eine fermionische Eichsymmetrie; das schien das zu sein, worauf Sie hinauswollten. Es gibt tatsächlich eine Verbindung mit der Schwerkraft, wie Sie vorgeschlagen haben, da dies das Gravitino ergibt; der supersymmetrische Partner der Schwerkraft in der Supergravitation. Das Dirac-Feld kann keine so gemessene Symmetrie haben, da es den Spin-1/2 vollständig wegmisst, sodass nichts übrig bleibt. Wenn Sie sich für die formalen Eigenschaften von interessieren $\gamma$ Matrizen in einem gruppentheoretischen Kontext: Sie bilden eine sogenannte Clifford-Algebra, und das sollten Sie sich ansehen.
@Cham: Was ACuriousMind bedeutet, ist das $U$ ist keine Symmetrietransformation von $\gamma$ . Bei einer Lorentz-Transformation $\psi\to U\psi$ , $\bar\psi\gamma_\mu\psi\to\Lambda_\mu^\nu \bar\psi\gamma_\nu\psi$ als 4-Vektor transformieren. Aber an sich $\gamma_\mu$ ist kein 4-Vektor (Lorentz-Transformationen wirken sich nicht aus). Abgesehen davon messen Sie tatsächlich Lorentz-Transformationen.
@Adam, ja das weiß ich alles. Ich erwäge die Möglichkeit, das zu machen $\gamma$ als Teil einer neuen Eichsymmetrie, unter ihrer willkürlichen Darstellung . Aber nachdem ich heute ein bisschen mehr darüber nachgedacht hatte, wurde mir klar, dass es wirklich um die Schwerkraft geht! (plus vielleicht noch etwas, ich bin mir noch nicht sicher). Wenn die $\gamma$ Vertretung erfolgt vor Ort, dann die $\gamma$ müssen zu dynamischen Feldern werden, anstatt zu einfachen Konstanten (wie ACuriousMind betonte). Aber dann verlangen diese, das auf sie kontrahierte Vierbeinfeld (Tetrade) zu verwenden. Dies impliziert die Schwerkraft . Allerdings ... (siehe unten)
Allerdings ... die Gruppe der $\gamma$ Darstellungstransformationen ist einheitlich (ich weiß nicht warum), also ist es nicht die Lorentz-Gruppe. Es enthält die Rotationen (wie die Lorentz-Gruppe), aber es enthält auch seltsame Dinge wie die chirale Transformation , die natürlich nicht Teil der Lorentz-Gruppe ist. Also "messen" die $\gamma$ Repräsentation braucht Schwerkraft (was zum... !?), oder Konflikt mit ihr. Ich denke also, dass eine Antwort auf meine obige Frage "NEIN, weil die Schwerkraft den Platz einnimmt" lautet!
Es ist auf jeden Fall eine faszinierende Idee. Korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege, aber ich denke, die Dirac-Darstellung ist die Lorentz-Gruppe $(1/2,0) \oplus(0,1/2)$ . Und deshalb sollte die Transformationsmatrix die Form haben $A \oplus (A^{-1})^\dagger$ , Wo $A \in SL(2, \mathbb{C})$ . Schon aus der Analyse der Dimensionalität sollte eigentlich klar sein, dass das nicht sein kann $SL(4,\mathbb{C})$ oder $GL(4,\mathbb{C})$ da beide viel zu viele Freiheitsgrade haben. Und ja, Sie können beliebige Äquivalenztransformationen vornehmen. Wir tun es normalerweise nicht, weil Sie verlieren $\gamma^{\mu \dagger} = \gamma^0 \gamma^\mu \gamma^0$ .
Können Sie vielleicht näher darauf eingehen, wie das mit der Schwerkraft zusammenhängt? Ich sehe einen leichten Zusammenhang mit $\lbrace \gamma^\mu, \gamma^\nu \rbrace = 2 \eta^{\mu \nu} \longrightarrow \lbrace \gamma^\mu (x), \gamma^\nu (x) \rbrace = 2 g^{\mu \nu}(x)$ aber das war es schon.

Gerben · Answer 1

Um meinen Kommentar zu erweitern, denke ich, dass das Rarita Schwinger-Feld (Spin 3/2) genau die gewünschte Spursymmetrie hat: https://books.google.be/books?id=KFUhAwAAQBAJ&lpg=PA96&ots=vh0WtWM5rg&dq=rarita%20schwinger%20fermionic %20gauge%20symmetry&pg=PA95#v=onepage&q&f=false Diese Gauge-Symmetrie entfernt die Spin-1/2-Komponente des Felds, sodass nur der Spin-3/2-Teil übrig bleibt. Wenn Sie nun dasselbe für das Spin 1/2-Feld messen, würden Sie das gesamte Spin 1/2-Feld weg messen, das Objekt würde vollständig aus nichtphysikalischem, willkürlichem Eichmaterial bestehen; Ich finde.

Bob Bee · Answer 2

Das Auferlegen lokaler Eichsymmetrie auf die Dirac-Gleichung erzeugt das elektromagnetische Feld, das mit ihr interagiert.

Sehen

http://www.physics.rutgers.edu/~steves/613/lectures/Lec06.pdf

Bevor Sie abstimmen, lesen Sie bitte meine Kommentare unten. Die Frage war nicht, ob Diracs Gleichung verwendet werden kann, um ein Fermion mit Spin 3/2 oder höher darzustellen, obwohl Sie es so interpretieren könnten, und sein Beispiel fügte einfach ein Vektorfeld als Eichfeld hinzu. Es gibt dann keine Wahl und es muss Elektromagnetismus sein. Die Felder Weyl und Majorana sind ebenfalls konsistent. Siehe Peschin. Übrigens, das Spin 3/2 Rarita Schwinger-Feld, das ich verstehe, hat Probleme, obwohl ich kein Experte dafür bin.

Wenn das völlig daneben liegt, bitte einfach erklären.

Entschuldigung, ich musste Ihre Antwort ablehnen. Das EM-Gauge-Feld ist mit dem verwandt $U(1)$ Gruppe, die mit allen pendelt $\gamma$ Matrizen. Es hat nichts mit dem zu tun $\gamma$ Vertretungen überhaupt.
Verstehen. Aber es scheint diese Wechselwirkung in die Diracs-Gleichung einzuführen. Siehe Referenz. Sie haben immer noch U(1) aus den EM-Gleichungen, aber diese Eichsymmetrie erzeugt den Wechselwirkungsterm in Dirac
Ja das $U(1)$ Die lokale Invarianz führt das EM-Feld in die Dirac-Gleichung ein. Dies ist sehr bekannt und das beste (dh einfachste) Beispiel dafür, wie man Eichfelder in die Physik einführt. Aber es hat nichts mit der Frage zu tun.
Siehe auch die Weyl-Gleichung und Majorana-Fermionen, die von der Dirac- und Lorentz-Invarianz abgeleitet sind, in damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/four.pdf . Es ist auch bekannt.

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