Ich besuche einen Kurs über Eichtheorien in QFT und habe einige Fragen zur physikalischen Bedeutung dessen, was wir tun.
Das habe ich verstanden:
Wenn wir einen Lagrange schreiben , suchen wir nach seinen Symmetrien. Seine Symmetrien sind die Transformation, die wir auf die Felder anwenden, die die Lagrange-Funktion unverändert lassen.
Das bedeutet, dass wir mit einem Betreiber handeln auf dem Feld und wir werden haben: .
Und die Betreiber gehört zu einer Gruppe.
Symmetrien sind sehr wichtig, da wir gemäß dem Noether-Theorem den erhaltenen Strom finden können, indem wir die Symmetrien kennen.
In Eichtheorien erlauben wir die Transformation an jedem Punkt des Raumes "anders" zu agieren. Dann haben wir (x-Abhängigkeit des Gruppenelements).
Also hat der Lehrer in meiner Klasse folgendes gemacht:
Er bemerkte, dass diese Menge:
Und dann sagte er: „Wir haben ein Problem, führen wir eine kovariante Ableitung ein das wird uns ermöglichen:
Meine Fragen sind folgende:
Warum wollen wir dieses „gute“ Transformationsgesetz haben? Ich bin mir überhaupt nicht sicher, aber das habe ich verstanden und würde es gerne überprüfen.
Ich denke, das liegt daran, dass wir die Lagrange-Funktion als invariante Unter-Eich-Transformation schreiben wollen. Um dies zu tun, fangen wir nicht bei Null an: Wir beginnen bei einem Begriff, von dem wir wissen, dass er im Lagrange sein sollte: . Wir sehen, dass dieser Term nicht eichinvariant ist, also versuchen wir ihn zu modifizieren, indem wir die Ableitungen „verändern“: . Wir sehen das, wenn wir haben wir werden das gute Gesetz der Transformation haben. Und schließlich finden wir nach einigem Rechnen das „Gute“ dieser Respekt .
Also: Liege ich mit meiner Erklärung richtig?
Auch:
Warum wollen wir eine Lagrange-Invariante unter Eichtransformationen? Gibt es einen Grund dafür oder ist es nur ein Postulat? Ich könnte verstehen, dass wir eine Lagrange-Invariante unter globaler Transformation wollen (wenn wir davon ausgehen, dass das Universum isotrop und homogen ist, macht es Sinn), aber für mich ist die Frage nach einer lokalen Invarianz ziemlich abstrakt. Was ist die Motivation dahinter?
Ich weiß, dass, wenn wir unter allen lokalen Symmetrien eine Lagrange-Invariante haben, diese unter globalen Symmetrien invariant sein wird, aber dieses "alles" ist für mich "problematisch".
Warum sollte der Lagrangian unter allen lokalen Symmetrien invariant sein? Es ist eine sehr starke Annahme aus meiner Sicht.
Ich hätte lieber eine physikalische Antwort als eine zu mathematische.
Wir gehen nicht von der Annahme aus, dass die Lagrange-Funktion unter Eichtransformationen unveränderlich sein „sollte“. Diese Annahme wird oft gemacht, weil globale Symmetrien als natürlicher angesehen werden als lokale Symmetrien und Autoren daher versuchen, die Eichtheorie zu motivieren, indem sie "die globale Symmetrie lokal machen", aber das ist eigentlich Unsinn. Warum sollten wir eine lokale Symmetrie wollen, nur weil es eine globale gibt? Haben wir einen Fetisch für Symmetrien, damit wir eine möglichst symmetrische Theorie machen wollen? Man kann die Eichtheorie auf diese Weise ableiten, aber als physikalische Motivation ist dies ein Ablenkungsmanöver.
Der eigentliche Punkt ist nicht, dass wir Eichsymmetrie "wollen", sondern dass sie uns aufgezwungen wird, wenn wir masselose Vektorbosonen in der Quantenfeldtheorie beschreiben wollen. Wie ich auch in dieser Antwort von mir anspiele , wird jedes masselose Vektorboson notwendigerweise durch ein Eichfeld beschrieben. Eine Lagrangesche Eichtheorie ist äquivalent eine Hamiltonsche eingeschränkte Theorie - in jedem Fall ist die Anzahl unabhängiger Freiheitsgrade , die physikalisch sinnvoll sind, geringer als die naive Anzahl, da wir physikalische Zustände identifizieren, die durch Eichtransformationen zusammenhängen.
Die wahre physikalische Motivation für Eichtheorien ist nicht "wir wollen lokale Symmetrien, weil Symmetrien ordentlich sind". Es ist "wir wollen eine Welt mit Photonen darin beschreiben und das kann nur kovariant mit einer Eichtheorie erfolgen".
Eine nicht-quantenbezogene Motivation der Eichtheorie kann auch angegeben werden: Wenn Sie den Lagrange-Operator des freien Elektromagnetismus aufschreiben, der motiviert ist, weil seine Bewegungsgleichungen die Maxwell-Gleichungen sind , nicht weil wir Eichsymmetrie mögen, dann stellen Sie fest, dass er natürlich mit a kommt Eichsymmetrie, was der bekannten Tatsache entspricht, dass das Hinzufügen eines Gradienten zum Vektor-4-Potential physikalisch irrelevant ist. Wenn Sie nun andere Felder an diesen freien Elektromagnetismus koppeln möchten, müssen Sie auch die zusätzlichen Terme eichinvariant machen, sonst ist die Theorie nicht mehr "Elektromagnetismus gekoppelt an etwas anderes" im sinnvollen Sinne, da das plötzliche Hinzufügen von Gradienten die ändern kann Physik. Wieder einmal ist die Eichsymmetrie etwas, das man entdeckt, nachdem man den Lagrange-Operator physikalisch durch etwas anderes motiviert hat, und nicht eine Art a priori Annahme, die wir machen.
Eine der zugrunde liegenden Ideen der Eichinvarianz ist, dass die Physik unabhängig von der Koordinatenparametrisierung (und damit der Eichung) existiert, die wir auf das System anwenden.
Für einheitenerhaltende Koordinatenänderungen sollte die Lagrange-Funktion (als Maß für die „Energie“ im System) also unabhängig davon, welche Koordinaten wir wählen, einen Wert haben.
Die Motivation für kovariante Ableitungen usw. besteht dann darin, Meinungsverschiedenheiten zwischen Koordinatensystemen (und der zugrunde liegenden physikalischen Mannigfaltigkeit) darüber zu berücksichtigen, was eine "gerade Linie" oder einen "rechten Winkel" ausmacht.
Der freie Lagrangian ist unter globalen Eichsymmetrien invariant. Dazu brauchen wir keine kovarianten Ableitungen oder Eichfelder einzuführen.
Wir stellen dann künstlich die Bedingung auf, dass auch lokale Spurweitenänderungen Symmetrien sind. Aber das ist nur ein mathematischer Trick. Eine Redundanz in unserer Beschreibung. Die Lagrange-Funktion und die Bewegungsgleichungen sollten also nicht von unserer Wahl der Spurweite abhängen, da eine lokale Spurweitenänderung nicht "physikalisch real" ist. Daher verwenden wir die kovariante Ableitung, um sicherzustellen, dass die Lagrange-Funktion eichunabhängig bleibt.
Zum Beispiel im Fall von U(1). Angenommen, wir nehmen eine lokale Phasenänderung des Fermionenfeldes vor. Aber diese Veränderung ist nicht real. Wir müssen also einen entsprechenden Term haben, der sich ebenfalls so ändert, dass er den Einfluss dieser künstlichen lokalen Phasenänderung aufhebt. Dies geschieht durch das Gauge-Feld .
Wenn Sie ein gutes intuitives Verständnis der Eichtheorie wünschen, empfehle ich Ihnen dringend das Buch „ Eine elementare Einführung in die Eichtheorie “ von K. Moriyasu
John Donne
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