Ändert die Einführung eines Eichfelds in die komplexe Skalarfeldtheorie Lagrangian ihre Dynamik?

Dies ist in der Tat wahr und wird als Eichprinzip bezeichnet. Es sagt uns, dass wir, wenn wir eine globale Symmetrie lokal machen, ein entsprechendes Eichfeld hinzufügen müssen, so dass die gesamte Lagrange-Funktion unter dieser lokalen Eichtransformation immer noch invariant bleibt. Dies ist ein neues dynamisches Feld, das seine eigenen Bewegungsgleichungen hat und an das Fermion koppeln kann, was zu Wechselwirkungen führt.

In diesem Fall ist die ursprüngliche Lagrange-Funktion invariant unter$U(1)$als$\psi \to \psi e^{i \alpha}$, beachte das auch$\partial_\mu \psi \to \partial_\mu \psi e^{i \alpha}$. Wir sagen, dass sich diese Felder in der fundamentalen Darstellung von transformieren$U(1)$.

Jetzt, nachdem wir unsere Transformation lokal gemacht haben:$\alpha \equiv \alpha(x)$das ist leicht zu sehen$\partial_\mu \psi \not\to \partial_\mu \psi e^{i \alpha(x)}$
Um dies zu berücksichtigen, da wir immer noch wollen, dass sich unser Feld in der fundamentalen Darstellung umwandelt, müssen wir ein Eichfeld einführen$A_\mu(x)$und eine kovariante Ableitung$\mathcal{D}_\mu$so dass$\mathcal{D}_\mu \psi \to \mathcal{D}_\mu \psi e^{i\alpha(x)}$. Diese letzte Transformation diktiert wie$A_\mu(x)$transformieren soll.

Wie in einigen Kommentaren erwähnt wurde, die Lagrange

$$\mathcal{L}=(\partial^\mu\psi)^\dagger(\partial_\mu\psi)-m^2\psi^\dagger\psi$$ Und $$\mathcal{L}=(D^\mu\psi)^\dagger(D_\mu\psi)-m^2\psi^\dagger\psi+\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$ repräsentieren unterschiedliche Theorien mit jeweils eigenen Eigenschaften.

Der übliche Weg, um den Übergang von der "ungaugten" Theorie zur "geeichten" Theorie zu motivieren, besteht darin, dies zu bemerken, wenn wir Invarianz unter der Transformation wollen$\psi\rightarrow e^{i\alpha}\psi$für$\alpha=\alpha(x)$eine beliebige reelle Funktion, dann nimmt man einen Lagrange-Operator, der im Spezialfall wo bereits invariant ist$\alpha$ist eine Konstante und ersetzt alle Ableitungen von$\psi$durch kovariante Ableitungen$D_\mu$, wäre gut genug, um eine Lagrange-Funktion zu konstruieren, die auch unter den lokalen Transformationen invariant ist.

Es gibt jedoch eine andere Sichtweise auf die Dinge, die sich vielleicht etwas weniger ad hoc anfühlt. Obwohl dieser Standpunkt anhand dieses Beispiels beschrieben werden kann$\psi$Felder, ist es etwas natürlicher, mit dem Beispiel eines Vektorfeldes zu beginnen.

Also stell dir das vor$V^a$sind die Komponenten eines Vektorfeldes - beachten Sie, dass dies nur die Komponenten sind. Das Vektorfeld selbst, also das abstrakte Objekt, das bei Koordinatenänderungen invariant ist, ist$V=V^a\boldsymbol{e}_a$bei dem die$\boldsymbol{e}_a$bilden an jedem Punkt im Raum eine Basis von Vektoren (technisch Rahmenfelder genannt). Zum Beispiel könnten wir in zwei Dimensionen nehmen$\boldsymbol{e}_0=\boldsymbol{\hat r}$Und$\boldsymbol{e}_1=\boldsymbol{\hat \theta}$.

Die Hauptannahme ist nun, dass die Physik unseres Systems nicht von den Basisvektoren abhängen sollte, die wir wählen, um unsere Vektorfelder darzustellen - das heißt, wenn wir zu kartesischen Einheitsvektoren anstelle von polaren Einheitsvektoren, den Komponenten, wechseln$V^a$sicherlich müsste man aber das objekt ändern$V=V^a\boldsymbol{e}_a$sollte nicht.

Da jede Änderung in den Basisvektoren$\boldsymbol{e}_a$eine (lineare) Abbildung von einem linearen Raum zu sich selbst sein wird, können diese durch Matrizen dargestellt werden$U^a_b$so unter einer Änderung der Basis hätten wir$\boldsymbol{e}^\prime_a=U^b_a\boldsymbol{e}_b$. Wenn wir wirklich unabhängig von den Basisvektoren sein wollen, können wir eine solche Transformation Punkt für Punkt durchführen, diese Basisänderungsmatrizen können eine beliebige Abhängigkeit vom Raumzeitpunkt haben,$U^a_b=U^a_b(x)$. Damit$V$Um von diesen Änderungen unabhängig zu sein, müssen sich die Komponenten um das Gegenteil von transformieren$U$,$V^{\prime\,a}=U^{-1\, a}_b V^b$.

Schließlich wollen wir jetzt unseren Lagrange bauen$V$und seine Derivate. Solange unsere Mannigfaltigkeit eine Metrik hat, können wir aus dem Differential beliebig hohe Ableitungen bilden$d$und das Hodge-Dual$*$. Wenn wir das Differential von berechnen$V$in Bezug auf die Komponenten würden wir finden

$$dV=(dV^a)\boldsymbol{e}_b+V^a(d\boldsymbol{e}_b).$$ Das Differential der Komponenten ist einfach, weil diese alle sind$0$-Formen (Skalare) und so weiter$d V^a=\partial_\nu V^adx^\nu$. Für das Differential der Basisvektoren können wir zunächst festhalten, dass das Ergebnis muss

a) eine 1-Form sein

b) wieder irgendeine Kombination von Einheitsvektoren sein.

Diese beiden Aussagen zusammen implizieren, dass das Differential die generische Form annehmen muss

$$d\boldsymbol{e}_a=(A_\mu)_a^b\boldsymbol{e}_bdx^\mu$$ Wo$A_{\mu\,b}^a$ist eine unbekannte Funktion mit einem suggestiven Namen. Setzen Sie dieses Ergebnis wieder in die Berechnung von ein$dV$, wir finden $$dV=\partial_\mu V^a\boldsymbol{e}_adx^\mu+V^aA_{\mu\,a}^b\boldsymbol{e}_bdx^\mu.$$ Wenn man die Differentiale, Einheitsvektoren und Komponenten zusammenfasst, wird dies $$dV=\boldsymbol{e}_adx^\mu(\delta^a_b\partial_\mu+A_{\mu\,b}^a)V^b=\boldsymbol{e}_adx^\mu(D_\mu)^a_bV^b.$$ In der letzten Zeile haben wir die kovariante Ableitung identifiziert$D$. Dies unterscheidet sich geringfügig von der kovarianten Ableitung in der Frage durch Gesamtskalierungen von$A$(Die$iq$), die in unsere Definition von aufgenommen werden könnten$A$.

Auch dieser Ausdruck weicht durch die zusätzlichen Indizes etwas von dem ab, was in der Frage steht$a$Und$b$herumschwimmen. Beim komplexen Skalarfeld haben wir es nicht mit einem Vektor zu tun, sondern mit einem Objekt$\tilde \psi=\psi z$wo jetzt$z$ist eine komplexe Zahl mit$|z|=1$. Dies spielt nun die Rolle unserer$\boldsymbol{e}$wurde schon einmal gespielt (hat aber keine Indizes).

Seit$z$Modul 1 haben muss, können wir nur in einen neuen umwandeln$z$von$z^\prime=e^{iq\alpha}z$Wo$\alpha=\alpha(x)$ebenso der Wechsel der Basismatrix$U$durfte von Punkt zu Punkt variieren (und$q$wurde der Einfachheit halber eingefügt). Da es dazu keine Indizes gibt$z$, würde unsere Berechnung des Differentials ergeben

$$d\tilde \psi=dx^\mu zD_\mu\psi=dx^\mu z(\partial_\mu+iqA_\mu)\psi.$$

Beachten Sie als lustige Randnotiz, dass if im Beispiel eines Vektors, den wir umbenannt haben$A$Zu$\Gamma$und das Eichpotential stattdessen ein Christoffel-Symbol nannten, würden wir sofort die kovariante Ableitung aus der allgemeinen Relativitätstheorie reproduzieren.