Konstruieren von Diracs Lagrangian ohne Annahme hermitischer/antihermitischer γγ\gamma-Matrizen

Der Dirak γ Matrizen folgen der Clifford-Algebra:

{ γ μ , γ v } = 2 η μ v

Die traditionelle Konstruktion des Dirac Lagrangian beinhaltet die Auswahl einer Basis des γ Matrizen wo γ μ ist entweder hermitesch oder antihermitesch, abhängig von der Metrik, und fährt fort, den Dirac-Adjoint zu definieren ψ ¯ = ψ † γ 0 . Die Lehrbücher fahren fort, das zu zeigen ψ ¯ ψ ein Lorentz-Skalar usw. ist und den Dirac-Lagrangian mit dem 'kinetischen' Term und dem Massenterm konstruieren.

Ist es möglich, die Dirac-Lagrange-Funktion zu konstruieren, OHNE die Hermitizität der γ Matrizen? Soweit ich sehen kann, die S [ Λ ] Matrix definiert durch die Nichthermitesche γ Matrizen ist eine gültige Darstellung der Lorentz-Gruppe. Warum also greifen die Lehrbücher auf die Hermitizität der γ Matrizen zur Konstruktion der Lagrange-Funktion?

L = ich ψ ¯ ⧸ ∂ ψ − M ψ ¯ ψ

Wenn wir den Dirac-Lagrangian konstruieren, ohne die Hermtitik dieser Matrizen anzunehmen, wie definieren wir dann den Dirac-Adjungierten?

Hermitizität ist keine basisabhängige Eigenschaft einer Matrix, oder?
@Charlie Ich glaube, ich war ziemlich unbekümmert, als ich sagte, dass wir eine "Basis" von verwenden γ Matrizen ... eine "Darstellung" wäre ein besseres Wort

Antworten (1)

Die Antwort ist nein. Die Gammamatrizen werden durch die Clifford-Algebra definiert

{ γ μ , γ v } = 2 η μ v

Nehmen wir an, wir arbeiten in der Signatur mit η μ v = diag ( − 1 , + 1 , + 1 , + 1 ) . Wir haben

( γ 0 ) 2 = − 1 , ( γ ich ) 2 = 1
Das sagen diese Gleichungen γ 0 hat Eigenwerte ± ich (daher antihermitisch) und die γ ich haben Eigenwerte ± 1 (daher hermitesch).

Ich verstehe, was Sie über die Generatoren sagen 1 4 [ γ μ , γ v ] das wichtige Objekt für die Definition der Repräsentation ist und dass es Raum für eine Auswahl geben kann γ μ was den Kommutator invariant lässt. Aber der Kommutator arbeitet als Folge der Clifford-Algebra als Generator der Lorentz-Gruppe.

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Was ich oben geschrieben habe ist falsch. Tatsächlich kann man Lösungen der Clifford-Algebra finden, die nicht hermitesch sind. Hier ist eine Reihe von Lösungen, die ich gefunden habe 2 D Clifford-Algebra

γ 0 = ich ( 1 A 0 − 1 ) , γ 1 = ( − 1 0 2 / A 1 )

Sie können wahrscheinlich mit dem spielen 4 D Fall, Beispiele zu finden, aber es entgeht mir im Moment. Ich denke, eine bessere Antwort darauf, warum wir solche Gammamatrizen nicht verwenden, ist, dass sie zu Generatoren führen, die weder hermitisch noch antihermitisch sind. Typischerweise ist es viel schwieriger, eine Theorie einheitlich zu machen, wenn die von uns verwendeten Darstellungen einer beliebigen Symmetriegruppe keine einheitlichen Darstellungen sind. Nun, die von uns verwendeten Lorentz-Darstellungen sind nicht einheitlich, aber die Generatoren sind entweder hermitesch oder antihermitesch (Rotations- bzw. Boost-Generatoren), und es gibt ein umgangssprachlich als Wick-Rotation bekanntes Verfahren, das es uns ermöglicht, eine einheitliche Theorie darin zu definieren Fall.

Warum tut γ ich mit einem Eigenwert von +1 impliziert, dass es hermitesch ist? Es sagt nur aus, dass es positive Eigenwerte hat. Ich stimme zu, dass eine hermitische Matrix reelle Eigenwerte hat, aber nur weil eine Matrix reelle Eigenwerte hat, muss sie nicht hermitesch sein.
Ja du hast recht, das ist mir entfallen. Lassen Sie mich ein wenig nachdenken und ich werde meine Antwort bearbeiten.
@Harsha Ich habe eine Bearbeitung vorgenommen, um meine Antwort zu korrigieren.
Vielen Dank für Ihren Kommentar. Ich denke, die endgültige Schlussfolgerung ist, dass es nicht notwendig ist, Hermitian zu haben γ Matrizen, aber nur, dass es zu viel Arbeit für null Nutzen ist?
@Harsha Ich denke, es ist schlimmer als "zu viel Arbeit". Repräsentationen dieser Art, weder hermitische noch anti-hermitische Generatoren, haben keine offensichtliche Möglichkeit, konsistent zu sein.
Danke für deine Antwort. Konsequent in welchem ​​Sinne?
@Harsha sie wären nicht einheitlich.
Konstruieren von Diracs Lagrangian ohne Annahme hermitischer/antihermitischer γγ\gamma-Matrizen
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