Messung der chiralen Symmetrie: Gibt es ein Vektorfeld, das an chiralen Strom koppelt?

1) Es gibt tatsächlich Theorien, bei denen die an den axialen Fermionenstrom gekoppelten Eichvektor-ähnlichen Felder ins Spiel kommen . Das bekannteste Beispiel ist natürlich das Standard-Modell , bei dem es das Local gibt$SU_{L}(2)$Symmetrie (linke Fermion-Dubletts interagieren mit 3 Eichfeldern$W_{\mu}^{a}$). Es ist möglich, die Theorie in Bezug auf die vektoraxiale Basis umzuschreiben,

$$\psi_{L} \equiv \frac{1}{2}\psi - \frac{\gamma_{5}}{2}\psi,$$ und entsprechende vektoraxiale Eichfelder sind $$V_{\mu}^{a} = \frac{W_{\mu}^{a}}{2}, \quad A_{\mu}^{a} = -\frac{W_{\mu}^{a}}{2}$$ 2) Es gibt auch viele realistische Feldtheorien, in denen die axialen Vektorfelder existieren, aber wo sie nicht die Eichfelder sind ; typischerweise gibt es Felder, die einige Teilchen oder die Symmetrien der Theorie darstellen.

Das bekannte Beispiel sind Axialvektor-Mesonen in der QCD nahe und unterhalb der globalen chiralen Symmetrie$SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)$brechende Skala. Ein Ansatz zur Einführung dieser Mesonen ist folgender: Man kann diese Symmetrie abschätzen, indem man masselose axiale Vektorfelder einführt, und sie danach durch Hinzufügen der Massenterme explizit brechen. Obwohl dieser Ansatz unnatürlich aussieht, hat er tatsächlich einen theoretischen Ursprung (die Wirkung der Theorie der chiralen Störung hat ein verborgenes lokales Messgerät$SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)$Symmetrie), phänomenologischen Ursprungs (Axial-Vektor-Mesonen ist natürlich der Teil der QCD, der die ungefähre chirale Symmetrie respektiert), tiefe historische Wurzeln (das sogenannte Vektor-Meson-Dominanzmodell) und beschreibt mehr oder weniger erfolgreich die Daten.

Ein weiteres Beispiel einer solchen effektiven Theorie ist das Weyl-Halbmetall nahe dem Kreuzungspunkt der Bänder. Es wird durch die Theorie masseloser chiraler Fermionen mit einem Abstand ungleich Null im Impuls- und Energieraum zwischen ihrem Spektrum (als Dirac-Kegel) angegeben, parametrisiert durch$b_{\mu}$. Es ist aufgrund von Spannungen und Versetzungen in das Halbmetall lokal. Der Lagrangian eines solchen Modells stimmt effektiv mit überein

$$L = \bar{\psi}(i\gamma_{\mu}\partial^{\mu} -\gamma^{\mu}\gamma_{5}b_{\mu})\psi$$ 3) Auch axiale Hintergrund-Eichfelder werden manchmal eingeführt, wenn wir den axialen Strom durch die Aktion definieren müssen. Genau, wenn wir ein solches Feld einführen $A_{\mu}$, dann ist der entsprechende Strom gegeben durch $$J_{\mu}^{A}(x) = \frac{\delta \Gamma[A]}{\delta A^{\mu}(x)}$$ Nach Berechnung des Stroms und seiner Eigenschaften (häufig im Zusammenhang mit der chiralen Anomalie) wird die Kopplung an $A$wird auf Null gesetzt. Dieser Trick wurde von Bardeen verwendet, als er die Anomalie einrechnete $SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)$Theorie ähnlich der QCD.

Hinweis zu den gemischten Anomalien

Wenn Sie sowohl Vektor- als auch Axialvektor-Eichsymmetrien haben, erscheint die Eichanomalie natürlich. Wenn Sie nur eine Fermion-Spezies haben, ist die Theorie im Allgemeinen inkonsistent. Andere Fermionen sind erforderlich, um diese Anomalie aufzuheben. Sie sehen jedoch aus dem oben geschriebenen Text, dass axiale (oder vektorielle) Eichfelder tatsächlich fiktiv sind (oder sogar physikalischen Partikeln entsprechen können), und in diesen Fällen müssen Sie sich keine Sorgen über die Anomalien machen. Nehmen wir in der Tat die Theorie an, in der beide Vektoren sind$V_{\mu}$und Axialvektor$A_{\mu}$Felder sind vorhanden; das axiale Feld ist jedoch physikalisch. Dann ist die (konsistente) Anomalie für Vektor- und Axialströme

$$\tag 1 \partial_{\mu}J^{\mu}_{V} = \frac{1}{48\pi^{2}}\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}F_{\mu\nu}^{A}F_{\alpha\beta}^{V},$$ $$\tag 2 \partial_{\mu}J^{\mu}_{A} = \frac{1}{96\pi^{2}}\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}(F_{\mu\nu}^{A}F_{\alpha\beta}^{A} + F_{\mu\nu}^{V}F_{\alpha\beta}^{V})$$ Um die Anomalie aus der Vektorstromerhaltung (und natürlich den entsprechenden Ward-Identitäten) zu entfernen, müssen Sie den lokalen Gegenterm (in der Literatur als Bardeen-Gegenterm bezeichnet) hinzufügen, der die rechte Seite von aufhebt $(1)$. Der Ausdruck $(2)$nimmt stattdessen die Form an $$\partial_{\mu}J^{\mu}_{A} = \frac{1}{96\pi^{2}}\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}(F_{\mu\nu}^{A}F_{\alpha\beta}^{A} + 3F_{\mu\nu}^{V}F_{\alpha\beta}^{V})$$ Dieser Gegenterm erzeugt sogar den zusätzlichen physikalischen Anteil des Vektorstroms $J_{\mu}$, nämlich $$\Delta J_{\mu}^{V} \sim \epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}A^{\nu}F^{\alpha\beta}_{V}$$