Was passiert mit dem Lagrangian der Dirac-Theorie unter Ladungskonjugation?

Betrachten Sie einen Ladungskonjugationsoperator, der auf das Dirac-Feld wirkt ( ψ ) als

ψ C ≡ C ψ C − 1 = C γ 0 T ψ ∗
Genauso wie wir den Paritätsoperator auf die Lagrangefunktion anwenden können, und wir sagen, dass eine Theorie eine Symmetrie hat, wenn
P L ( T , X ich ) P − 1 = L ( T , − X ich )

Angenommen, wir operieren C auf dem Dirac Lagrangian, was sollen wir bekommen?

C L D ich R A C ( X μ ) C − 1 = L D ich R A C ∗ ( X μ ) ?
in Analogie zur Transformation des Skalarfeldes ϕ unter ladung konjugation.

In gleicher Weise kann man fragen, welche Gleichung sollte ψ C erfüllen? Sollte es die konjugierte Dirac-Gleichung als erfüllen

( ich γ μ ∂ μ + M ) ψ C = 0 ?
Wenn ja, kann mir jemand die physikalische Interpretation dafür geben.

Ich stelle diese Frage, da ich explizit verwenden möchte ψ C und prüfen Sie, ob die Dirac-Lagrange-Invariante erhalten bleibt. Ich habe eine Berechnung durch Einsetzen durchgeführt ψ C in der Dirac-Gleichung und haben festgestellt, dass sie nicht zufriedenstellend ist, wie unten gezeigt.

( ich γ μ ∂ μ − M ) ψ C = ich ( γ μ C γ 0 T ) ∂ μ ψ ∗ − ( C γ 0 T ) M ψ ∗
Wir werden verwenden C − 1 γ μ C = − γ μ T Und { γ μ T , γ v T } = 2 G μ v .
In Betracht ziehen
γ μ C γ 0 T = C C − 1 γ μ C γ 0 T = − C γ μ T γ 0 T = C γ 0 T γ μ T
Daher werden wir durch Ersetzen zurückkommen
( ich γ μ ∂ μ − M ) ψ C = C γ 0 T ( ich γ μ T ∂ μ ψ ∗ − M ψ ∗ ) = C γ 0 T [ ( ich γ μ T ∂ μ ψ ∗ − M ψ ∗ ) T ] T = C γ 0 T ( ich ψ † γ μ ∂ μ − M ψ † ) T = C γ 0 T [ ( ich ψ ¯ γ 0 γ μ ∂ μ − M ψ ¯ γ 0 ) ] T
Jetzt
γ 0 γ μ ∂ μ = ( γ 0 ∂ T + γ ich ∂ ich ) γ 0
Wenn wir zurückwechseln, bekommen wir
( ich γ μ ∂ μ − M ) ψ C = C γ 0 T [ { ich ψ ¯ ( γ 0 ∂ T + γ ich ∂ ich ) − M ψ ¯ } γ 0 ] T ≠ 0

Antworten (2)

Die kurze Antwort auf die Frage "Was passiert mit der Lagrangian der Dirac-Theorie unter Ladungskonjugation?" ist nichts." Sie ist bezüglich der Ladungskonjugation invariant.

Bevor ich zur längeren Darstellung komme, möchte ich auf ein mögliches Missverständnis über die Natur der Invarianz der Bewegungsgleichungen unter Symmetrietransformationen hinweisen, das sich aus Ihrer Aussage zur Parität ( X → − X ). Ihre Gleichung

P L ( T , X ich ) P − 1 = L ( T , − X ich )
ist richtig. Aber dies an und für sich sagt nicht, „dass eine Theorie eine Symmetrie hat“. Tatsächlich schränkt es die Theorie ein – dass die Theorie eine gerade Funktion des Positionsvektors sein muss. Für ein reelles Skalarfeld gilt beispielsweise: ϕ ( T , X ) , der kinetische Energieoperator in der Lagrange-Dichte, ∂ μ ∂ μ ϕ ( X ) ist invariant unter Parität. Tatsächlich ist es nur die Aktion ( S = ∫ D 4 X L ), die unter der Symmetrietransformation invariant sein müssen. (Häufig reduziert sich dies auf die Invarianz der Lagrange-Dichte.) Daher muss nicht jeder Term der Lagrange-Dichte (Dichte) invariant sein (obwohl dies häufig der Fall ist).

Zurück zur Dirac-Gleichung – die vollständige Aussage, in Worten, der Invarianz der Theorie der Wechselwirkung von Elektronen mit Licht (QED) unter den diskreten Transformationen ( P , C , & T ) besteht darin, dass die Theorie unter jedem von ihnen einzeln oder in beliebiger Kombination unveränderlich ist. (QED ist in dieser Hinsicht weniger "interessant" als die elektroschwache Theorie, da die elektroschwache Theorie alle drei getrennt zu verletzen scheint - aber vielleicht nicht alle gleichzeitig.)

Wir müssen uns daran erinnern, dass die Invarianz unter C erfordert die Transformation nicht nur der Wellenfunktion, ψ C ≡ C ψ C − 1 = C γ 0 T ψ ∗ sondern auch der Vorwurf, Q → − Q . Im Fall der oben betrachteten freien Dirac-Gleichung / Lagrange-Funktion ist die Ladung nicht enthalten, daher ist sie für die vorliegende Diskussion nicht direkt relevant, aber es ist wichtig, sie im Auge zu behalten.

Nun die direkten Antworten auf Ihre Fragen. (Ich werde die Algebra nicht machen, denn wenn Sie die Berechnungen für die Dirac-Gleichung selbst durchführen können, sollte die Transformation der Lagrange-Funktion einfach sein.)

"Angenommen, wir operieren C auf der Dirac Lagrange, was sollten wir bekommen?" Die korrigierte Beziehung lautet:

C L D ich R A C ( X μ ) C − 1 = L D ich R A C ( X μ )

(Übrigens stellt sich heraus, dass Ihre Beziehung in Ordnung ist, da die Lagrange-Funktion (Dichte) ein hermitescher Skalaroperator sein muss, also L ∗ = L † = L . EDIT: Danke an Omkar für den Hinweis, dass das falsch ist. L ∗ ≠ L . )

Ebenso kann man fragen, welcher Gleichung ψC genügen sollte? Sollte es die konjugierte Dirac-Gleichung als erfüllen

> ( ich γ μ ∂ μ + M ) ψ C = 0 ?

Wenn Sie die Metrik „Westküste“ verwenden ( + 1 , − 1 , − 1 , − 1 ) dann die Gleichung, dass ψ C befriedigen sollte ist die oben mit M → − M . Das heißt, die freie Dirac-Gleichung ist die gleiche für ψ Und ψ C . Das liegt daran, dass die Massen von Teilchen und Antiteilchen identisch sind, wie zuerst von Dirac erraten wurde. (Wenn Sie die Metrik des entgegengesetzten Vorzeichens verwenden, ist Ihre Gleichung korrekt.)

Danke für Ihre Antwort. Ich stimme Ihrer Argumentation bezüglich der Lagrange-Funktion zu. Und selbst Ihr Argument bezüglich der Form der Gleichung klingt richtig und etwas, das wir erwarten sollten, da der Lagrange gleich ist. Ich habe jedoch eine Berechnung durchgeführt und etwas anderes festgestellt. Ich werde die Berechnung in der Frage aufstellen, vielleicht mache ich einen Fehler.
Ein weiterer Punkt ist, dass obwohl L ist hermitesch, ich glaube, es ist nicht wirklich so, wie der Begriff ψ ¯ ψ ist nicht echt. Daher kann man das nicht sagen L ∗ = L
Ich sehe oben einen Fehler. Du solltest haben: γ 0 γ μ ∂ μ = ( γ 0 ∂ T − γ ich ∂ ich ) γ 0 . Ich würde es aber nicht so machen. Ich erhalte das richtige Ergebnis, indem ich mit der Dirac-Gleichung für beginne ψ , indem man das komplexe Konjugat nimmt und das zeigt C ∝ γ 2 (in der sogenannten Dirac-Darstellung der γ Matrizen). Und da hast du Recht L ∗ ≠ L . Das tut mir leid.
Nochmals Entschuldigung -- C sollte sein ∝ γ 2 γ 0 . (Ich verwende Bjorken & Drell-Konventionen.)
Ja, Sie haben Recht, meine Notationen sind schlecht, ich benutze ein sehr schlechtes Buch :\ . Übrigens γ 0 γ μ ∂ μ = γ 0 γ 0 ∂ T − γ 0 γ ich ∂ ich = γ 0 γ 0 ∂ T + γ ich γ 0 ∂ ich = ( γ 0 ∂ T + γ ich ∂ ich ) γ 0
Omkar, das ist ein häufiger Fehler, den Sie in der obigen Zeile gemacht haben γ μ ∂ μ . In Betracht ziehen A μ B μ = A 0 B 0 + A ich B ich -- es gibt kein Minuszeichen, da Sie den Index noch nicht gesenkt haben. Die richtige Beziehung ist: γ μ ∂ μ = γ 0 ∂ 0 − ∑ ich = 1 3 γ ich ∂ ich .

Dies hängt von der Definition des Ladungskonjugationsoperators ab. Ihre Definition

ψ C = C γ 0 T ψ ⋆ .
ändert das Vorzeichen des Massenterms in der Dirac-Gleichung (oder äquivalent das Vorzeichen des kinetischen Terms, wenn wir die Gleichung mit einem Minuszeichen multiplizieren). Wenn wir ein Extra hinzufügen γ 5 (oder ich γ 5 , was auf eine globale Phasentransformation hinausläuft.) zu Ihrer Definition der Ladungskonjugation,
ψ C = γ 5 C γ 0 T ψ ⋆ ,
voila! Die Ladungskonjugation würde Sie aufgrund von zur ursprünglichen Dirac-Gleichung zurückbringen
γ 5 γ μ = − γ μ γ 5 .

Was passiert mit dem Lagrangian der Dirac-Theorie unter Ladungskonjugation?
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