Ein Problem mit QED

Das sollten Sie berücksichtigen$\bar{\psi}\gamma^0\psi=u^2-v^2$, was für Teilchen positiv und für Antiteilchen negativ ist.

Man muss eine Fallunterscheidung treffen: 1) gebundene Zustände & 2) Streuung freier Teilchen.

1. Gebundene Zustände:

Wie bereits erwähnt, koppeln die positiven und negativen Energielösungen an die gleiche Kopplung$e$mit gleichem Vorzeichen, dh beide beschreiben Elektronen. Will man also Positronen im gebundenen Zustand beschreiben, muss man tatsächlich die geladene konjugierte Lösung verwenden:

Wo$C$ist die Ladungskonjugationsmatrix, die je nach Darstellung des Dirac-Spinors variieren kann. In einer der einfachsten Darstellungen ist es

Die Ladungskonjugation macht Elektronenlösungen mit negativer Energie zu Positronenlösungen mit positiver Energie.

2. Streuung

Zur Beschreibung der Streuung wird der Formalismus von$2^{nd}$Quantisierung verwendet werden. In diesem Fall die Lösung der Dirac-Gleichung$\psi$gilt als (Feld-)Operator$\hat{\psi}$wirkt auf den Fockraum:

Wo$a^s_\mathbf{p}$Und$b^{s\dagger}_\mathbf{p}$sind Vernichtungsoperatoren für Elektronen und Erzeugungsoperatoren für Positronen. Eigentlich als "Koeffizient" der negativen Energielösung wählen$v(p)$ein Erzeugungsoperator (beachten Sie, dass ein Vernichtungsoperator die andere Wahl wäre) führt die entsprechende Lösung durch$v^s(p)$zu einem ausgehenden Teilchen (anderer Art, weil es ein anderer Operator ist ($b$) und nicht ein$a$-Operator), das dann als zeitlich rückwärts laufendes "hineingehendes" --- dh von der Zukunft in die Gegenwart --- Elektron interpretiert werden kann, das aufgrund der Interpretation als ausgehendes Positron angesehen werden kann. Der Formalismus von$2^{nd}$Quantisierung in Kombination mit Feyman-Diagrammen macht dies möglich. Die Regeln der Feynman-Diagramme sind strikt anzuwenden. Insbesondere Positronenstreuung wird in diesem Formalismus beschrieben als ($p$ist der 4-Impuls des einlaufenden Teilchens, wohingegen$p'$ist der 4-Impuls des gestreuten ausgehenden Teilchens).

Wo$\bar{v}(p)$beschreibt das eingehende "Positron" und$v(p')$das ausgehende "Positron", während im Falle der Elektronenstreuung der Streustrom wie folgt aussieht:

dh das eintretende Elektron wird beschrieben durch$u(p)$und das gestreute ausgehende Elektron beschrieben durch$\bar{u}(p')$, dh die Positionen von$u$Und$v$im Strom werden vertauscht. Deshalb Lösungen$v(p)$sind keine echten – sagen wir mal – positiv geladenen Teilchen. Echte entgegengesetzt geladene Teilchen hätten den gleichen Streustrom wie der Elektronenstrom$\bar{u}(p')\gamma^\mu u(p)$(Denken Sie an Up- und Down-Quarks, die beide durch die Dirac-Gleichung beschrieben werden, aber entgegengesetztes Vorzeichen (der Ladung) haben und kein Teilchen-Anti-Teilchen-Paar sind).

Tatsächlich ist es auch möglich, eine Beschreibung zu verwenden, die den Ladungskonjugationsoperator beinhaltet$C$Streuströme zu beschreiben, sondern in dem oben beschriebenen Formalismus von$2^{nd}$Quantisierung dasselbe kann viel einfacher erreicht werden.

Die Feynman-Interpretation der negativen Energielösungen als Positronen hat sich so stark durchgesetzt, dass die meisten Menschen darüber nachdenken$v(p)$B. Positronenlösungen, gibt es aber nicht. Sie sind Elektronenlösungen von Lösungen mit negativer Energie (oder Frequenz), da sie mit der gleichen Kopplungskonstante an das EM-Feld koppeln wie die Lösungen mit positiver Energie.

Abschließend würde ich sagen, die Dirac-Gleichung ist unproblematisch, man muss nur mit den Informationen, die sie liefert, angemessen umgehen.

Siehe auch meinen Beitrag Setzt die Dirac-Gleichung Ladung und Spin auf die gleiche Grundlage?

Wir erhalten, dass sowohl Teilchen als auch Antiteilchen das gleiche elektrische Potential erzeugen

Nein, tun wir nicht. Die Ein-Teilchen-Dirac-Gleichung ist problematisch, also muss man etwas optimieren. Entweder Sie gehen davon aus, dass Komponenten des Dirac-Spinors Grassmannsch sind (oder kanonische Antikommutierungsbeziehungen erfüllen), oder Sie sagen, dass Antiteilchen keine Zustände negativer Energie sind, sondern Löcher im Meer von Zuständen negativer Energie.