Das Einstecken von Majorana Spinor in Dirac Lagrangian gibt Majorana Lagrangian nicht?

Das scheint so einfach zu sein, aber irgendwie sehe ich nicht wie.

Der Majorana-Lagrangian kann in Bezug auf einen linkshändigen Weyl-Spinor geschrieben werden ψ L als

L M = ich ψ L † σ ¯ μ ∂ μ ψ L − M 2 ψ L T ϵ ψ L + M 2 ψ L † ϵ ψ ¯ L .
Inzwischen kann der Dirac-Lagrangian in Bezug auf einen linkshändigen Weyl-Spinor geschrieben werden ψ L und ein rechtshändiger Weyl-Spinor ψ R als
L D = ich ψ L † σ ¯ μ ∂ μ ψ L + ich ψ R † σ μ ∂ μ ψ R − M ( ψ L † ψ R + ψ R † ψ L ) .

Hier verwende ich die Konvention σ μ = ( ICH , σ ich ) , σ ¯ μ = ( ICH , − σ ich ) , Und ϵ = ( 0 1 − 1 0 ) .

Die Realitätsbedingung für den Majorana-Spinor ist gerecht

ψ R = − ϵ ψ ¯ L .
Oben einstecken ψ R hinein L D , und Verwenden der Identität − ϵ σ μ ϵ = ( σ ¯ μ ) ∗ , Ich bekomme

L D = ich ψ L † σ ¯ μ ∂ μ ψ L + ich ψ L T ( σ ¯ μ ) ∗ ∂ μ ψ ¯ L + M ψ L † ϵ ψ ¯ L − M ψ L T ϵ ψ L .

Es scheint mir, dass ich hätte L D = 2 L M wenn ich es nur beweisen könnte

ich ψ L † σ ¯ μ ∂ μ ψ L = ? ich ψ L T ( σ ¯ μ ) ∗ ∂ μ ψ ¯ L .

Ich verstehe jedoch nicht, warum die obige Gleichung wahr sein muss. Eine zusätzliche Ebene der Komplikation ist das ψ L ist wirklich ein Vektor von Grassmann-Variablen, die erfüllen

{ ψ L A , ψ L B } + = 0 { ψ A ¯ L , ψ B ¯ L } + = 0 { ψ L A , ψ B ¯ L } + = δ A B
für A , B = 1 , 2 .

Was sind die richtigen Manipulationen, um das zu zeigen? L D = 2 L M ?

Hey Kumpel, deine Dirac-Masse − M ( ψ L † ψ R + ψ R † ψ L ) klingt nicht richtig. Es sollte lesen − M ( ψ ¯ L ψ R + ψ ¯ R ψ L ) .
Auf einer chiralen Basis fehlt das γ 0 In ψ ¯ = ψ † γ 0 schaltet rechte/linke Spinoren um.

Antworten (1)

Ah. Herausgefunden. Das möchte ich zeigen

ich ψ L † σ ¯ μ ∂ μ ψ L = ? ich ψ L T ( σ ¯ μ ) ∗ ∂ μ ψ ¯ L .

Lassen Sie uns die rechte Seite manipulieren. Da es sich um eine einzelne Zahl (im Sinne der linearen Algebra) handelt, ist sie gleich ihrer eigenen Transponierten. Allerdings, weil es ψ L ist wirklich ein 2-Komponenten-Spaltenvektor von anti-pendelnden Grassmann-Zahlen, wenn wir die Transponierung nehmen, müssen wir sie auch negieren, wenn wir implizit die Reihenfolge der Multiplikation umkehren. So

ich ψ L T ( σ ¯ μ ) ∗ ∂ μ ψ ¯ L = ( ich ψ L T ( σ ¯ μ ) ∗ ∂ μ ψ ¯ L ) T = − ich ∂ μ ψ ¯ L † ( σ ¯ μ ) † ψ L .
Beachten Sie das als Nächstes ( σ ¯ μ ) † = σ ¯ μ weil alle Pauli-Matrizen selbstadjungiert sind. Integrieren Sie schließlich nach Teilen und nehmen Sie ein zusätzliches Minuszeichen auf. Dies gibt uns unsere gewünschte Gleichung.
ich ψ L T ( σ ¯ μ ) ∗ ∂ μ ψ ¯ L = − ich ∂ μ ψ L † ( σ ¯ μ ) † ψ L = − ich ∂ μ ψ L † σ ¯ μ ψ L = ich ψ L † σ ¯ μ ∂ μ ψ L

Das ist genau das, was ich wollte.

Beachten Sie, dass ich verwendet habe ψ ¯ L zu meinen, was die meisten Leute meinen ψ L ∗ .

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