Majorana-Fermionen

Wenn Sie die Majorana-Spinoren als schreiben

(1) χ = ( ψ L ich σ 2 ψ L ∗ )

Es erfüllt die Dirac-Gleichung, die Sie zur Majorana-Gleichung führt

ich σ ¯ μ ∂ μ ψ L = ich M σ 2 ψ L .

Aber falls χ Dirac erfüllt, ist Diracs Lagrangian der Lagrangian for χ ? Meine Fragen ergeben sich aus einem meiner QFT-Kurse, wo der Professor sagte, dass Majorana-Felder wie Gl. (1) nicht haben U ( 1 ) Symmetrie. Wenn es jedoch die Gleichung von Dirac erfüllt, sollte seine Lagrange-Funktion die von Dirac sein, und daher sollte dies der Fall sein U ( 1 ) Symmetrie.

Woher wissen Sie außerdem, dass Majoranas selbstkonjugiert sind? Legen Sie es fest oder ist es ein Ergebnis aus der Lagrange-Funktion oder Gl. (1) oder irgendwo? Ich habe versucht, das zu verstehen, aber ich stecke wirklich fest.

Antworten (1)

Vielleicht hilft ein einfacheres Beispiel, das Problem zu verdeutlichen. Betrachten Sie das komplexe Skalarfeld Lagrange,

L = ( ∂ μ ϕ ∗ ) ( ∂ μ ϕ ) − M 2 ϕ ∗ ϕ .
Dieser Lagrange hat a U ( 1 ) Symmetrie durch Phasendrehungen.

Betrachten Sie nun ein reales Feld φ . Wir wissen bereits, wie man mit ihnen umgeht, aber aus Faulheit könnten wir uns dafür entscheiden, das reale Feld als komplexes Feld zu schreiben ϕ das ist zufällig sein eigenes Konjugat, ϕ ∗ = ϕ . Dies ist nützlich, da wir genau denselben komplexen Skalarfeld-Lagrangian verwenden können,

L = ( ∂ μ ϕ ∗ ) ( ∂ μ ϕ ) − M 2 ϕ ∗ ϕ .
Dieser Lagrange hat jedoch kein a U ( 1 ) Symmetrie wie das Original, obwohl es gleich aussieht, weil ϕ ist eigentlich echt. Sie können seine Phase einfach nicht drehen.

Die gleiche Logik gilt für das Majorana-Spinorfeld. Wir beginnen mit einem Weyl-Spinorfeld ψ L . Wenn wir nur über den Dirac-Lagrangian Bescheid wissen, dann wissen wir nicht, wie wir einen Lagrangian für diesen Weyl-Spinor allein aufschreiben sollen. Also haben wir uns dafür entschieden, es als vollständigen Dirac-Spinor zu schreiben χ das gezwungen ist, sein eigenes Konjugat zu sein, und verwenden Sie einfach den Dirac-Lagrangian für χ . Dieser Lagrange hat jedoch kein a U ( 1 ) Symmetrie wie das Original, obwohl es gleich aussieht, weil χ ist selbstkonjugiert. Sie können seine Phase einfach nicht drehen.

Ich habe die explizite Berechnung des Lagrangians für gemacht χ , L = χ ¯ ( ich γ μ ∂ μ − M ) χ , und ich bekomme Begriffe, die mit einhergehen ψ L ψ L , ψ L ∗ ψ L ∗ , ψ L ψ L ∗ . Die ersten 2 machen die U ( 1 ) Symmetrie unmöglich, wahr? Tatsächlich ist zu erkennen, dass eine Rotation von χ würde das implizieren ψ L transformiert sich mit der Drehung und ψ L ∗ mit der Umkehrung der Drehung, was keinen Sinn macht. Soll ich das erklären?
Und was ist mit der Sache mit der Selbstkonjugation? Ist es etwas, das wir auferlegen, oder leiten wir es irgendwie ab?
@ Vicky Es hängt davon ab, wie Sie es formulieren, weshalb es verwirrend ist. Ich denke, das Einfachste ist zu sagen, wir wollen eine Theorie mit nur einem linkshändigen Weyl-Spinor. Bei einem gegebenen Feld können Sie es immer konjugieren, um ein weiteres Recht zu erhalten, das ein rechtshändiger Weyl-Spinor ist. Wenn Sie diese beiden Objekte zusammenstapeln, erhalten Sie ein 4-Komponenten-Objekt, das zufällig ein selbstkonjugierter Dirac-Spinor ist.
@Vicky Das Wichtigste ist also, dass Sie mit einem massiven Weyl-Spinor beginnen. Zufällig lassen sich seine Freiheitsgrade in einen selbstkonjugierten Dirac-Spinor packen. Andere Leute erwähnen jedoch nie Weyl-Spinoren und sagen stattdessen, dass ein Majorana-Spinor ein Dirac-Spinor ist, der selbstkonjugiert ist, was irgendwie in die entgegengesetzte Richtung geht. Am Ende des Tages ist die Theorie sowieso dieselbe, also spielt es keine Rolle.
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