Wie ist die Dirac-Lagrange-Funktion zu verstehen?

Ich habe einige grundlegende Fragen zur Interpretation von Lagrange, beginnen wir mit Dirac:

L = Ψ ¯ ( ich γ μ ∂ μ − M ) Ψ ,

Wo Ψ ist ein Dirac-Spinor, M ist die Masse, γ μ ist eine Gamma-Matrix und ∂ μ ist die Ableitung.

1) ist M ein Vektor oder eine Matrix oder ein Skalar? Ich dachte immer, dass es ein Skalar ist, aber aus irgendeinem Grund Ψ ¯ M Ψ ist im Lagrange erlaubt, aber M Ψ ¯ Ψ ist es nicht, also kann es kein Skalar sein! BEARBEITEN m ist ein Skalar und kann überall in der Dirac-Gleichung stehen, aber diese Terme gelten nicht für das Standardmodell!

2) Was genau wird damit verletzt M Ψ ¯ Ψ ist nicht erlaubt? Ist es nicht unveränderlich unter etwas? BEARBEITEN Diese Begriffe gelten beide nicht für das Standardmodell, da sie nicht eichinvariant sind!

3) Ich dachte immer, dass ein Dirac-Spinor alle möglichen für ein Fermion enthält, die zwei Spinzustände für ein Teilchen und die zwei Spinzustände für das Antiteilchen. Ist diese Annahme richtig?

4) Warum brauchen wir Ψ ¯ ? Was stellt es dar? Tauschen Teilchen und Antiteilchen die Plätze? Oder ist meine Interpretation in 3) falsch und Ψ repräsentiert das Teilchen und Ψ ¯ und Antiteilchen.

5) Die Dirac-Gleichung beschreibt ein freies massives Fermion, das sich durch Raum und Zeit bewegt, tut das Ψ ¯ deuten auf eine Interaktion hin?

Ich habe versucht, es aus Wikipedia zu verstehen, aber ich bin gescheitert. Jede Antwort auf eine der oben genannten Fragen wird geschätzt.

Wer sagt das Ψ ¯ Ψ ist nicht erlaubt? M ist ein Skalar, also kannst du ihn platzieren, wo immer du willst.
In einer Übung zur Quantenfeldtheorie heißt es: „Die folgenden Terme sind im Lagrange-Standardmodell nicht zulässig. Erklären Sie für jeden Term kurz warum. 1) M Ψ ¯ Ψ " und dann noch ein paar weitere Lagrange-Begriffe ...
Ich glaube, Sie haben die Aussage der Übung falsch interpretiert. @ Javier ist richtig.
Wo? In welchem ​​Kontext? Wo reden sie vielleicht von Eichinvarianz?
@Alex Das ist etwas ganz anderes. Für ein generisches Dirac-Fermion können Sie schreiben M Ψ ¯ Ψ . Im Standardmodell ist dies nicht möglich, da es die Eichinvarianz verletzt. Beachten Sie, dass Sie nicht schreiben können Ψ ¯ M Ψ entweder aus dem gleichen Grund.
@knzhou Ich dachte, die Dirac-Gleichung ist Teil des Standardmodells? Was wäre im Standardmodell erlaubt?
Das Standardmodell verfügt über masselose Fermionenfelder, die durch Wechselwirkung mit dem Higgs-Feld eine „effektive Masse“ erhalten.
@J.Murray Also würde im Grunde jeder Term mit einer Masse gegen die Eichinvarianz verstoßen und daher nicht Teil des Standardmodells sein?
Ja, das ist richtig.
@J.Murray Ist die Dirac-Gleichung Teil der elektroschwachen Theorie oder verwechsle ich hier die Dinge?
Wenn Sie einen Kurs über Teilchenphysik belegen, empfehle ich Ihnen wirklich, sich ein gutes Buch zu besorgen, wie Griffiths' Introduction to Elementary Particles. Es erklärt alles verständlich. Das Lernen dieses Materials von Wikipedia ist wirklich schwierig, weil viele Artikel widersprüchliche Konventionen verwenden und einige einfach falsch sind.
Sie verwechseln vielleicht die Ideen der pseudorelativistischen, teilchenbezogenen Quantenmechanik mit der tatsächlich relativistischen Quantenfeldtheorie.
Ich besuche keinen Kurs, ich versuche nur, es selbst zu lernen... Danke an alle, das beantwortet zumindest einige meiner Fragen, kennt ihr vielleicht auch die Antworten auf die anderen?

Antworten (1)

Das ist übrigens nicht die Dirac-Gleichung, sondern die Dirac-Lagrangian/Aktion.

1) M ist ein Skalar. Massenterme für fermionische Felder sind im Standardmodell erlaubt, Sie verwechseln Massenterme für Eichfelder, die nicht alleine erlaubt sind, aber durch spontane Symmetriebrechung (Higgs-Mechanismus) eingehen.

2) M Ψ Ψ ¯ ist erlaubt, da sich jede Phasenänderung (lokal von global) aufhebt. Auch hier verwechseln Sie einen Massenbegriff mit einem Eichfeld M A μ A μ . Dies würde die Eichinvarianz verletzen, A μ → A μ + ∂ μ Λ .

BEARBEITEN Die beiden obigen Antworten gelten für Dirac-Lagrange- und EM-Wechselwirkungen, wie in der Frage angegeben. Bei Vorhandensein einer schwachen Wechselwirkung werden Fermionen je nach ihrer Chiralität unterschiedlich beeinflusst. Dies führt dann einen eichabhängigen Massenterm ein, der nur durch den Higgs-Mechanismus gespeichert wird.

3) Nein, es ist nur die Bewegungsgleichung für ein Spin-1/2-Fermion. Wenn Sie den Spin-Operator konstruieren S 2 , werden Sie feststellen, dass die Eigenwerte sind 3 4 ℏ 2 , korrespondierend zu S ( S + 1 ) mit S = 1 / 2 .

Für Spin-3/2-Fermionen lautet die Gleichung so usw.

4) Was ist die Interpretation des komplexen Konjugierten einer Zahl? Wirklich, Sie erfinden einfach einen beliebigen Term in der Lagrange-Funktion, der Ihnen die korrekte Dirac-Gleichung (bei Anwendung der Euler-Lagrange-Gleichungen) ergibt, von der Sie wissen, dass sie aus Experimenten korrekt ist.
Sie können die Form des Lagrangians immer begründen, zum Beispiel haben Ψ Ψ ¯ bedeutet, dass Sie lokale und globale Phaseninvarianz haben, und dass das resultierende Potenzial ∝ Ψ 2 hat ein Minimum, was zu einer stabilen Feldtheorie führt.

5) Ψ ¯ ist keine Interaktion. Die Dirac-Gleichung ist die Gleichung, der ein freies massives Spin-1/2-Fermion folgt. Oder richtiger durch seinen Feldoperator (wobei ich zwischen relativistischem Quantenmechanismus und Quantenfeldtheorie unterscheide).

Beachten Sie jedoch, dass Sie die Masse einfach einstellen können 0 , und man erhält die sogenannten Weyl- Fermionen.

Um Wechselwirkungen zu erhalten, benötigen Sie nichtlineare Terme.

Der, der normalerweise auftaucht, ist ∝ J μ A μ = Ψ γ μ Ψ ¯ A μ , Wo A μ ist das elektromagnetische Messpotential. Dieser Term ist nicht linear und repräsentiert die Wechselwirkung zwischen einem Spin-1/2-Fermion Ψ und ein Spin-1-Vektorboson A μ .

Sie können auch zwei verschiedene Fermionen interagieren lassen, indem Sie einen Begriff verwenden, der wie folgt Ψ 1 ⋅ Ψ 2 , wobei beide ihrer individuellen Dirac-Gleichung gehorchen.

Wikipedia ist wirklich schlecht für dieses Zeug, es sei denn, Sie wissen bereits ungefähr, was los ist. Ich würde empfehlen, sich eine Vorlesungsreihe für Studenten zu Eichfeldtheorien anzusehen. Die von Cambridge ist ziemlich gut.

Vielen Dank für Ihre Antwort! Ich habe weiter nachgelesen und bin durch einige Aussagen etwas verwirrt: 1) + 2) Das war eine Diskussion in den Kommentaren, aber ich denke eigentlich, dass Massenbegriffe im SM tatsächlich nicht erlaubt sind, es sei denn, sie enthalten die Higgs-Skalar. Dieser Term enthält es nicht, außerdem ist es nicht eichinvariant, was eine Voraussetzung für SM ist.
3) Ich glaube, Sie haben hier eine andere Frage beantwortet. Ψ ist ein Spinor, keine Gleichung. Meine Fragen betrafen die Einträge des Spinors. 4) Ψ ¯ ist nicht das komplex Konjugierte, es ist das hermitesch Konjugierte mal das γ 0 Matrix Ψ ¯ = Ψ † γ 0 , und ich verstehe dieses Objekt nicht, aber ich verstehe das Argument für ein Make-up-Objekt, damit die Gleichung funktioniert ... In diesem Feld scheint Ladungskonjugat die Notation zu haben Ψ ∗ . 5) Also obwohl wir zwei haben Ψ s im Lagrange, ist es nur ein Fermion, das mit dem Photon wechselwirkt A μ ?
1) + 2), tut mir leid - aber nein. Jeder Massenbegriff für ψ würde die Eichinvarianz nicht verletzen. Ich kenne Ihr Niveau nicht und weiß nicht, wie viel Sie bereits wissen, aber "Eich"-Invarianz bedeutet hier nur "Phasen"-Invarianz, und es ist trivial, das zu sehen M Ψ ¯ Ψ bleibt invariant durch jede globale oder lokale Phasentransformation in Bezug auf beliebige U ( N ) . Wenn Sie nun mit dem rein kinetischen Dirac-Lagrange-Potenzial + dem Higgs-Potential beginnen, dann würde der Massenterm natürlich mit dem ausfallen M Koeffizient in Form der Higgs-Kopplung ist G und der VEV.
Aber nichts hindert Sie daran, die einzubeziehen M Ψ ¯ Ψ Begriff zu beginnen, es ist einfach schöner , es aus dem Higgs-Potenzial zu bekommen. Was Sie jedoch nicht tun dürfen, ist, einen Massenterm für ein Spin-1-Eichfeld zu setzen A μ , Und M A μ A μ ist unter der Eichtransformation nicht invariant A μ → A μ + ∂ μ Λ wie Sie trivial zeigen können. Die Tatsache, dass schwache Eichbosonen Masse haben , bedeutet jedoch, dass wir hier den Higgs-Mechanismus benötigen , um den Massenterm zu erhalten.
3) Ich habe Ihre Frage falsch verstanden, bitte entschuldigen Sie. Es hat 4 Freiheitsgrade, interpretiert als Spin UP & Spin DOWN, Elektron & Positron.
4) Ich weiß, was der Adjunkt ist Ψ ¯ Ich habe versucht, eine Analogie zu einer einfacheren Situation herzustellen. In der (nicht-relativistischen) Quantenmechanik die Wellenfunktion ψ hat eine Erhaltungsladung ∝ | ψ | 2 , die Sie wissen (nehme ich an) bezieht sich auf die Wahrscheinlichkeitsdichte. Wie bildet man sich | ψ | 2 aus ψ ? Mit ψ † , daher mein Punkt zur physikalischen Bedeutung - es ist eine mathematische Anforderung. Die Adjungierte kommt aus ähnlichen Gründen herein, Sie wissen, dass die erhaltene Ladung hier Ladungsdichte und Ladungsstrom ist, Fortsetzung...
--> Sie konstruieren also Ihre Invariante, um Ihnen diese Antworten zu geben, daher die Einführung des Faktors von γ 0 die seitdem keinem anderen Zweck mehr dient Ψ † Ψ würde dir auch einen Skalar geben.
5) Ich verstehe Ihren Kommentar nicht. Wechselwirkungen treten nur auf, wenn Sie nichtlineare Terme zwischen verschiedenen Feldern haben (Spinor, Vektor oder was immer Sie wollen). Ψ ¯ ist kein anderes Feld als Ψ , es ist dasselbe, also Ψ ¯ Ψ zählt nicht als Interaktionsterm.
(Ich stimme einigen Dingen in den Kommentaren zu Ihrer Frage nicht zu, daher möchte ich auf keine davon verweisen - ich denke, einige Punkte tragen nur zu Ihrer Verwirrung bei).
Ich sollte vielleicht der Vollständigkeit halber hinzufügen, da mir gerade aufgefallen ist, dass im Falle von Nicht-Dirac nur Lagrangianern, dann stimmt das tatsächlich M Ψ ¯ Ψ ist nicht eichinvariant, es sei denn, es kommt durch den Higgs-Mechanismus. Dies gilt jedoch nur im Zusammenhang mit der schwachen Wechselwirkung, da mit welcher Schraubenkalibrierungsinvarianz der Paritätsoperator konstruiert wird γ 5 . Ich habe meiner Antwort eine Bearbeitung hinzugefügt.
(nicht Parität, ich meinte Chiralität).
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