Hat das relative Vorzeichen in der Dirac-Gleichung eine Bedeutung?

Ich weiß, es gibt viele Fragen zu diesem Thema und auch verschiedene Antworten, aber es wird nie explizit gesagt, warum im Dirac-Lagrangian ein bestimmtes Zeichen vor dem Massenbegriff steht. Ich bin auch verwirrt, da der Text, dem ich folge, dies ohne Beweis aussagt

Das relative Vorzeichen zwischen den beiden Lorentz-Skalaren kann abgeleitet werden, indem impliziert wird, dass die Bewegungsgleichung die Klein-Gordon-Gleichung für alle Komponenten erfüllen muss.

Aber als ich versuchte, zu diesem Ergebnis zu kommen, indem ich die ± explizit durch alle Berechnungen habe ich gesehen, dass es sowieso ausfällt

L = ich Ψ ¯ ( ∂ μ γ μ ± M ) Ψ

Euler-Lagrange-Gleichung liefert

∂ L ∂ Ψ ¯ − ∂ μ ∂ L ∂ ( ∂ Ψ ¯ ) = ( ich ∂ μ γ μ ± M ) Ψ = 0.

Multiplizieren des hermitesch Konjugierten des Operators von links

0 = ( − ich ∂ v γ v ± M ) ( ich ∂ μ γ μ ± M ) Ψ = ( ∂ μ γ μ ∂ v γ v ± ich M ∂ μ γ μ ∓ ich M ∂ v γ v + M 2 ) Ψ = ( 1 2 [ ∂ μ γ μ ∂ v γ v + ∂ μ γ μ ∂ v γ v ] + M 2 ) Ψ = ( 1 2 { γ μ , γ v } ∂ μ ∂ v + M 2 ) Ψ = ( ∂ μ ∂ μ + M 2 ) Ψ = 0 ,

wo die Identitätsmatrix unterdrückt wurde. Das scheint also tatsächlich die Klein-Gordon-Gleichung für jede Komponente des Spinors zu sein, aber die ± fällt am Anfang aus.

Daher meine Frage, spielt es eine Rolle, welches Zeichen wir wählen (auf der Ebene des Lagrange), und gibt es einen tieferen Grund, warum wir uns für das eine oder andere entscheiden?

Ihre Lagrange-Dichte scheint das i an der falschen Stelle zu haben.

Antworten (2)

Sagen wir, Ψ ist eine Lösung der Dirac-Gleichung, das heißt,

( ich γ μ ∂ μ − M ) Ψ = 0.

Multiplizieren mit γ 5 und verwenden γ 5 γ μ = − γ μ γ 5 ,

( ich γ μ ∂ μ + M ) γ 5 Ψ = 0.
Daher, γ 5 Ψ ist auch eine Lösung mit Masse − M . Die beiden Lösungen entsprechen den beiden Faktoren von E 2 = P 2 + M 2 . Da die Dirac-Gleichung linear ist, sind die Linearkombinationen ihrer Lösungen: ψ L = 1 2 ( 1 − γ 5 ) Ψ Und ψ R = 1 2 ( 1 + γ 5 ) Ψ , werden auch Lösungen sein.

All dies bedeutet im Grunde, dass die Dirac-Gleichung zwei Lösungen beschreibt und je nach Wahl der Basis (z γ -Matrizen) könnten diese Lösungen als Teilchen und Antiteilchen (auf Dirac-Basis) oder als zweikomponentige links- und rechtshändige Weyl-Spinoren (auf chiraler Basis) interpretiert werden. Diese Komponenten sind separat Lösungen der Klein-Gordon-Gleichung.

BEARBEITEN: Beachten Sie, dass es im letzten Ausdruck in der Frage kein gibt γ -Matrix, sodass jede Komponente die KG-Gleichung einzeln erfüllt. Nach dem Verschwinden der ± Zeichen, ich denke, es hat damit zu tun, dass EOM für beide Ψ Und Ψ ¯ (Dirac-Gleichung bzw. ihr Adjoint) kann aus derselben Lagrange-Funktion erhalten werden, indem sie bzgl Ψ ¯ Und Ψ , bzw. In diesem Sinne ist es also egal, mit welchem ​​Sie beginnen (der Dirac-Lagrangian mit dem Minuszeichen oder sein Adjoint mit dem Pluszeichen). Sie tragen die gleichen Informationen; Sie sind nur nebeneinander!

Für eine ausführliche Erklärung gehen Sie hier .

Ein ähnlicher Thread ist dieser .

Oke, also entspricht das Ändern des Vorzeichens im Lagrange einer Neudefinition dessen, was ein rechts- oder linkshändiger Weyl-Spinor ist? Es wäre also nicht möglich, das Vorzeichen des Lagrange-Massenterms zu bestimmen, indem man einfach feststellt, dass die EOM die Klein-Gordon-Gleichung erfüllen müssen?
@PatrickAmrein siehe die BEARBEITETE Antwort oben. Ich hoffe, damit ist die Diskussion abgeschlossen.

Der Wechsel des Vorzeichens bei der Masse in der Dirac-Gleichung ist gleichbedeutend mit dem Ersetzen γ μ mit − γ μ , sondern Matrizen − γ μ haben die gleichen Antikommutierungsbeziehungen wie γ μ , so dass Sie eine äquivalente Gleichung erhalten, wenn ich mich nicht irre. Spezifische Lösungen können eine andere Form haben, aber die Physik scheint die gleiche zu sein.

Hat das relative Vorzeichen in der Dirac-Gleichung eine Bedeutung?
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