Fehlendes Vorzeichen in der Dirac-Gleichung

Das ist sehr trivial, aber es nervt mich wirklich. Der Ansatz für die Dirac-Gleichung in Bezug auf$\boldsymbol\alpha$Und$\beta$Matrizen ist

$$[i(\partial_t+\boldsymbol\alpha\cdot\boldsymbol\nabla)-\beta m]\psi=0,$$ und um die Standardform in Bezug auf Gammamatrizen zu erhalten, definiert man$\gamma^\mu=(\beta, \beta\boldsymbol \alpha)$damit multipliziert man die Gleichung mit$\beta$gibt $$[i(\beta\partial_t+\beta\boldsymbol\alpha\cdot\boldsymbol\nabla)-\beta^2m]=[i\gamma^\mu\partial_\mu-m]=0$$ solange der Index eingeschaltet ist$\gamma^\mu$ist eigentlich ein Vektorindex, dessen wir uns vergewissern können, indem wir verlangen$\psi$in die Spinordarstellung umzuwandeln. Aber wenn man bedenkt, dass die richtige Erweiterung des Minkowski-Produkts ist $$\gamma^\mu\partial_\mu=\gamma^0\partial_0-\boldsymbol\gamma\cdot\boldsymbol\nabla=\beta\partial_t-\beta\boldsymbol\alpha\cdot\boldsymbol\nabla,$$ sollte nicht der Ausdruck im ersten Term sein$\beta\partial_t-\beta\boldsymbol\alpha\cdot\boldsymbol\nabla$, mit einem Minuszeichen statt einem Pluszeichen?