Ableitung in Bezug auf einen Spinor des freien Dirac-Lagrangians

Als wir die Dirac-Gleichung ausgehend von der Lagrangian abgeleitet haben, sagte unser QFT-Professor:

„Nehmen wir den kostenlosen Lagrangian

L = ich Ψ ¯ γ μ ∂ μ Ψ − M Ψ ¯ Ψ
und durchführen
∂ L ∂ ( ∂ μ Ψ ) = ∂ ( ich Ψ ¯ γ μ ∂ μ Ψ ) ∂ ( ∂ μ Ψ ) = − ich Ψ ¯ γ μ ,
wobei das zusätzliche Minuszeichen von der Tatsache herrührt, dass, wenn wir die Ableitung in Bezug auf durchführen ∂ μ Ψ wir 'durchgehen' Ψ ¯ und der Austausch zweier Spinoren ergibt ein Minuszeichen".

Dies ändert nichts an der Berechnung der Dirac-Gleichung, aber als ich versuchte, den Spannungsenergietensor zu berechnen T μ v Ich habe erhalten (Ich verwende η μ v = D ich A G ( + 1 , − 1 , − 1 , − 1 ))

T μ v = ∂ L ∂ ( ∂ μ Ψ ) ∂ v Ψ + ∂ L ∂ ( ∂ μ Ψ ¯ ) ∂ v Ψ ¯ − η μ v L = − ich Ψ ¯ γ μ ∂ v Ψ
da der Lagrangian auf der Schale null ist.

Jetzt nehme ich die Null-Null-Komponente, die nichts anderes als die Energiedichte ist

H = T 00 = − ich Ψ ¯ γ 0 ∂ 0 Ψ
aber diese Energie ist nicht nur anders als die, die ich in jedem Buch gefunden habe, sie ist auch negativ, was bedeutet, dass sie sicherlich falsch ist. Meine Frage ist jetzt, wo habe ich einen Fehler gemacht?

Antworten (2)

Wenn θ 1 , θ 2 sind dann ein Paar Grassmann-Variablen

(linke Ableitung) ∂ ∂ θ 2 ( θ 1 θ 2 ) = − θ 1
wobei das negative Vorzeichen darauf zurückzuführen ist, dass partielle Ableitungen mit ungeraden Variablen antikommutieren.

Außerdem lautet der Satz von Taylor

F ( θ 1 , θ 2 + δ ) = F ( θ 1 , θ 2 ) + δ ∂ F ∂ θ 2 + ⋯
wobei hier die Reihenfolge der Faktoren wichtig ist ( F ist eine gerade Funktion).

Daher ist der korrekte Ausdruck des Energie-Impuls-Tensors

T μ v = − ∂ L ∂ ( ∂ μ Ψ ) ∂ v Ψ + ∂ v Ψ ¯ ∂ L ∂ ( ∂ μ Ψ ¯ ) − η μ v L = + ich Ψ ¯ γ μ ∂ v Ψ

Beachten Sie, dass die meisten Bücher richtige Ableitungen verwenden , was diese Analyse vereinfacht.

User AccidentalFourierTransform hat bereits eine gute Antwort gegeben. Hier werden wir einige Punkte hervorheben:

  1. Das Hauptproblem ist, dass das Superdifferential liest

    (1) D θ ∂ L F ( θ , θ ¯ ) ∂ θ + D θ ¯ ∂ L F ( θ , θ ¯ ) ∂ θ ¯   =   D F ( θ , θ ¯ )   =   ∂ R F ( θ , θ ¯ ) ∂ θ D θ + ∂ R F ( θ , θ ¯ ) ∂ θ ¯ D θ ¯ ,
    wobei die Reihenfolge der Faktoren entscheidend davon abhängt, ob man linke oder rechte Ableitungen verwendet. Siehe auch zB diesen Phys.SE Beitrag.

    ZB wird die Ordnung (1) wichtig bei der Konstruktion des kanonischen Spannungs-Energie-Impuls (SEM)-Tensors, der der Noether-Strom für Raum-Zeit-Translationen ist, vgl. Frage von OP. Ein weiteres Beispiel ist die Konstruktion des Hamiltonschen Formalismus für Fermionen. Siehe zB diesen Phys.SE-Beitrag und die darin enthaltenen Links.

  2. Das andere Problem ist das θ Und θ ¯ sind streng genommen keine unabhängigen Grassmann-ungeraden Variablen; man kann sie jedoch als unabhängig behandeln . Dieses Problem ähnelt diesem Phys.SE-Beitrag für gerade Grassmann-Variablen.

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