Klassische Fermion- und Grassmann-Zahl

In der Theorie der relativistischen Wellengleichungen leiten wir die Dirac-Gleichung und die Klein-Gordon-Gleichung ab, indem wir die Darstellungstheorie der Poincare-Algebra verwenden.

Zum Beispiel in diesem Papier

http://arxiv.org/abs/0809.4942

die Dirac-Gleichung im Impulsraum (Gleichungen [52], [57] und [58]) kann aus dem 1-Teilchen-Zustand der irreduziblen einheitlichen Darstellung der Poincare-Algebra (Gleichung [18] und [19]) abgeleitet werden. Die gewöhnliche Wellenfunktion im Ortsraum ist ihre Fourier-Transformation (Gleichung [53], [62] und [65]).

Beachten Sie an dieser Stelle, dass diese Dirac-Gleichung einfach eine klassische Wellengleichung ist. dh seine Lösungen sind klassische Dirac-4-Spinoren, die Werte aufnehmen C 2 ⊕ C 2 .

Betrachten wir die Dirac-Wellen ψ ( x ) und ψ ¯ ( x ) als 'klassische Felder', dann werden die quantisierten Dirac-Felder erhalten, indem sie in fermionische harmonische Oszillatoren umgewandelt werden.

Was ich nicht verstehe, ist, dass wir, wenn wir die Pfad-Integral-Quantisierung von Dirac-Feldern durchführen, tatsächlich behandeln ψ und ψ ¯ als Grassmann-Zahlen, die für mich kontraintuitiv sind. Soweit ich weiß, machen wir Pfadintegrale, indem wir über alle "klassischen Felder" summieren. Während die 'klassische Dirac-Welle ψ ( x ) ', die wir am Anfang abgeleitet haben, sind einfach 4-Spinoren, die darin leben C 2 ⊕ C 2 . Wie können sie stattdessen als Grassmann-Zahlen behandelt werden?

Aus meiner Sicht versuchen Physiker, ein „klassisches Analogon“ von Fermionen zu konstruieren, die reine Quantenobjekte sind. Zum Beispiel, wenn wir von einem Quanten-Antikommutator ausgehen

[ ψ , ψ † ] + = ich ℏ 1 und [ ψ , ψ ] + = [ ψ † , ψ † ] + = 0 ,

dann können wir die Grassmann-Zahlen im klassischen Limes erhalten ℏ → 0 . So habe ich früher die Grassmann-Zahlen verstanden. Das Problem ist, dass, wenn die Grassmann-Zahlen tatsächlich eine Art klassische Grenze von Antikommutierungsoperatoren im Hilbert-Raum sind, dann die Grenze ℏ → 0 selbst macht aus physikalischer Sicht keinen Sinn, da in dieser Grenze ℏ → 0 , verschwinden die Spin-Observablen vollständig und wir erhalten dann a 0 , was eine triviale Theorie ist.

Bitte sagen Sie mir, wie genau die Quanten-Fermionen mit den Grassmann-Zahlen zusammenhängen.

Einige kleinere Anmerkungen: die Komponenten bzw ψ sind Grassmann-Zahlen auf klassischem Niveau. Im QM sind das keine Grassmann-Nummern mehr, sondern Operatoren. Wir wählen ψ a ( x ) auf klassischer Ebene ungerade Grassmann zu sein, so dass die CCR (wie durch die Poisson-Klammer-Algebra induziert) Antikommutatoren anstelle von Kommutatoren sind, wodurch fermionische Zustände entstehen.
@ AccidentalFourierTransform Es gibt keinen direkten Beweis, der mich davon überzeugt, dass die Dirac-Felder, die wir aus der Darstellung der Poincare-Algebra abgeleitet haben, Grasmann-bewertet sein sollten. Stattdessen glaube ich, dass die Leute dazu neigen zu glauben, dass klassische Dirac-Felder Grasmann-Zahlen sind, weil die Quantenfelder von Elektronen fermionisch sind. Wenn wir die Tatsache vernachlässigen, dass Elektronen tatsächlich Fermionen sind, wenn wir von der Darstellung der Poincare-Algebra ausgehen und die relativistischen Wellengleichungen herleiten, ist es klar, dass sie komplexwertige Spinoren sind.
das klassische Dirac-Feld ist irrelevant: Wir können es definieren, wie wir es wollen. Es gibt keine Verwendung von ( − ich ∂ + m ) ψ = 0 für ein klassisches Fach ψ . Wir definieren es so, dass es die Eigenschaften hat, die besser funktionieren, wenn es quantisiert wird: Wir wissen was ψ ^ muss sein, also definieren wir ψ damit alles gut funktioniert. Denken Sie daran, dass relativistische Wellengleichungen nutzlos sind: ψ ist keine Wellenfunktion. Das wichtige Objekt ist ψ ^ (es gibt keine klassische Grenze von Fermionenfeldern, da sie auf klassischer Ebene nicht existieren)
@ AccidentalFourierTransform. ψ ist eine Wellenfunktion. Wichtig ist, dass die Welle, die wir aus der Darstellungstheorie der Poincare-Algebra erhalten haben, nicht die quantenmechanische probabilistische Welle ist. Stattdessen ist es die Welle der klassischen Felder. Es ist bekannt, dass einige klassische Felder die Schrödinger-Gleichung erfüllen. Aber es ist nicht die quantenmechanische Wellengleichung, da die klassische Welle hier keine probabilistische Interpretation hat.
@ AccidentalFourierTransform Beispielsweise können Sie das klassische Schrödinger-Feld quantisieren, das die nicht-relativistische Grenze des klassischen Klein-Gordon-Felds ist. Es ist auch die klassische Grenze des Quanten-Schrödinger-Feldes. Dieses Quanten-Schrödinger-Feld kann auch als Kontinuumsgrenze der Quantenmechanik vieler körperidentischer Teilchen angesehen werden. Wir legen einfach den klassischen Hamilton-Operator zwischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren. Beachten Sie, dass der klassische Hamilton-Operator dieselbe Form annimmt wie der Quanten-Hamilton-Operator der gewöhnlichen 1-Teilchen-Quantenmechanik.
@ AccidentalFourierTransform Die Einführung des Schrödinger-Felds finden Sie hier: en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6dinger_field
@ AccidentalFourierTransform Nun, um genauer zu sein, ψ ( p ) noch eine probabilistische Interpretation zulassen, da wir diese Welle schließlich aus dem 1-Teilchen-Zustand der irreduziblen unitären Darstellung der Poincare-Algebra konstruiert haben, die genau die Grundelemente des Hilbert-Raums relativistischer Teilchen sind. Im Gegensatz zur nicht-relativistischen QM ist die Fourier-Transformation von ψ ( p ) in den Positionsraum, dh ψ ( x ) hat keine probabilistische Interpretation. Der Grund geht wie folgt.
@ AccidentalFourierTransform In der relativistischen QM die Positionsoperatoren X μ sind nicht hermitesch und | x >< x | ist unvollständig. Es ist daher, dass wir das Feld nicht betrachten können ψ ( x ) als probabilistische Welle < x | ψ > seiner Quantenmechanik, obwohl die ψ ( p ) ist tatsächlich die quantenmechanische probabilistische Welle im Hilbert-Raum. Sobald wir jedoch lokale Wechselwirkungen betrachten, müssen wir Berechnungen im Ortsraum durchführen, daher quantisieren wir die klassischen Felder ψ ( x ) .
An alle, die sich für meine Frage interessieren, mir wurde plötzlich klar, dass im Pfadintegralformalismus von Fermionen der Ableitungsprozess wie folgt abläuft. Wir beginnen mit der Betrachtung der Übergangswahrscheinlichkeit zwischen beispielsweise zwei fermionischen kohärenten Zuständen < ψ ¯ f | ψ ich > . Dann fügen wir eine Reihe von Identitätsoperatoren für die fermionischen kohärenten Zustände hinzu. Wir stoßen dann auf die Grasmann-Zahlen. In Anbetracht des obigen Verfahrens scheinen mir diese Grasmann-Zahlen überhaupt nicht genau die klassische Grenze fermionischer Felder zu sein.
@XiaoyiJing Wie Sie sagen, sind die Grassmann-Zahlen ein technischer Trick, um die Konstruktion kohärenter Fermionenzustände zu ermöglichen, die dann zur Konstruktion des kohärenten Zustandspfadintegrals verwendet werden. Sie entsprechen nicht physikalischen Zuständen. Alle physikalischen Zustände haben reelle Besetzungszahlen (aber Sie können alle physikalischen Zustände in Bezug auf kohärente Zustände erweitern, die Grassmann-Koeffizienten haben). Man kann argumentieren, dass der Grund dafür, dass es keine klassischen fermionischen Felder gibt, darin besteht, dass es keine physikalisch kohärenten Zustände von Fermionen gibt.

Antworten (1)

  1. Zunächst einmal daran erinnern, dass eine Super-Lie-Klammer [ ⋅ , ⋅ ] L B (wie z. B. eine Super-Poisson-Klammer { ⋅ , ⋅ } & der Superkommutator [ ⋅ , ⋅ ] ), erfüllt die Superantisymmetrie

    (1) [ f , g ] L B   =   − ( − 1 ) | f | | g | [ g , f ] L B ,
    und die Super-Jacobi-Identität
    (2) ∑ Zyklus  f , g , h ( − 1 ) | f | | h | [ [ f , g ] L B , h ] L B   =   0.
    Hier | f | bezeichnet die Grassmann-Parität des Super-Lie-Algebra-Elements f . Zu Superzahlen siehe zB auch diesen Phys.SE -Beitrag und die darin enthaltenen Links.

  2. Um sicherzustellen, dass der Hilbert-Raum keine negativen Normzustände hat und dass der Vakuumzustand keine Anregungen mit negativer Energie hat, sollte das Dirac-Feld mit Antikommutierungsbeziehungen quantisiert werden

    [ ψ ^ a ( x , t ) , ψ ^ β † ( j , t ) ] +   =   ℏ δ a β   δ 3 ( x − j ) 1 ^   =   [ ψ ^ a † ( x , t ) , ψ ^ β ( j , t ) ] + ,
    (3) [ ψ ^ a ( x , t ) , ψ ^ β ( j , t ) ] +   =   0 , [ ψ ^ a † ( x , t ) , ψ ^ β † ( j , t ) ] +   =   0 ,
    statt mit Vertauschungsrelationen, vgl. zB Art.-Nr. 1 und diesen Phys.SE-Beitrag.

  3. Nach dem Korrespondenzprinzip zwischen Quanten- und klassischer Physik ist der Superkommutator ich ℏ mal die Super-Poisson-Klammer (bis zu möglichen höheren ℏ -Korrekturen), vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag. Daher lauten die entsprechenden fundamentalen Super-Poisson-Klammern 1

    { ψ a ( x , t ) , ψ β ∗ ( j , t ) }   =   − ich δ a β   δ 3 ( x − j )   =   { ψ a ∗ ( x , t ) , ψ β ( j , t ) } ,
    (4) { ψ a ( x , t ) , ψ β ( j , t ) }   =   0 , { ψ a ∗ ( x , t ) , ψ β ∗ ( j , t ) }   =   0.

  4. Vergleich von Gl. (1), (3) & (4) wird deutlich, dass das Dirac-Feld Grassmann-ungerade ist, sowohl als operatorwertiges Quantenfeld ψ ^ a und als Superzahlen-bewertetes klassisches Feld ψ a .

  5. Es ist interessant, dass die Dirac-Lagrange-Dichte frei ist 2

    (5) L   =   ψ ¯ ( ich 2 ∂ ↔ − m ) ψ
    ist (i) reell, und (ii) seine Euler-Lagrange (EL)-Gleichung ist die Dirac-Gleichung 3
    (6) ( ich ∂ − m ) ψ   ≈   0 ,
    unabhängig von der Grassmann-Parität von ψ !

  6. Die Dirac-Gleichung (6) selbst ist linear in ψ , und daher agnostisch gegenüber der Grassmann-Parität von ψ .

Verweise:

  1. ME Peskin & DV Schroeder, Eine Einführung in QFT; Abschnitt 3.5.

  2. H. Arodz & L. Hadasz, Vorlesungen zur Klassischen und Quantentheorie der Felder, Abschnitt 6.2.

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1 In dieser Antwort betrachten wir der Einfachheit halber nur die Dequantisierung, dh den Übergang von einem Quantensystem zu einem klassischen System. Normalerweise steht man in der Physik vor dem gegenteiligen Problem: der Quantisierung. Angesichts der Lagrange-Dichte (5) könnte man (als erster Schritt in der Quantisierung) die Hamilton-Formulierung über das Dirac-Bergmann-Rezept oder das Faddeev-Jackiw-Verfahren finden . Das Dirac-Bergmann-Verfahren führt zu Zwangsbedingungen zweiter Klasse . Die resultierende Dirac-Klammer wird zu Gl. (4). Das Faddeev-Jackiw-Verfahren führt zum gleichen Ergebnis (4). Weitere Informationen finden Sie auch in diesem Phys.SE-Beitrag und den darin enthaltenen Links.

2 Die Variablen ψ a ∗ und ψ ¯ a sind nicht unabhängig von ψ a , vgl. diesen Phys.SE-Beitrag und die darin enthaltenen Links. Wir widersprechen dem Satz „Lasst uns das betonen ψ a , ψ ¯ a sind unabhängige erzeugende Elemente einer komplexen Grassmann-Algebra" in Lit. 2 auf S. 130.

3 Konventionen. In dieser Antwort werden wir verwenden ( + , − , − , − ) Minkowski-Zeichenkonvention und Clifford-Algebra

(7) { γ μ , γ v } +   =   2 η μ v 1 4 × 4 .
Darüber hinaus,
(8) ψ ¯   =   ψ † γ 0 , ( γ μ ) †   =   γ 0 γ μ γ 0 , ( γ 0 ) 2   =   1 .
Der hermitesche Adjoint eines Produkts EIN ^ B ^ von zwei Operatoren EIN ^ und B ^ kehrt die Reihenfolge um, dh
(9) ( EIN ^ B ^ ) †   =   B ^ † EIN ^ † .
Die komplexe Konjugation eines Produkts z w von zwei Superzahlen z und w kehrt die Reihenfolge um, dh
(10) ( z w ) ∗   =   w ∗ z ∗ .

Danke für den Hinweis auf die Super-Poisson-Klammer, die ich von Anfang an ignoriert habe. Aber gestatten Sie mir, darauf hinzuweisen, dass die obige Antwort noch ein winziges Defizit aufweist.
Ich habe kürzlich aus dem Buch „Lectures on Classical and Quantum Theory of Fields“ von Henryk Arodz und Leszek Hadasz in Abschnitt 6.2 „The Dirac Field“ von Kapitel 6 „The Quantum Theory of Free Fields“ Seite 131-132 gelernt, dass die konjugierten Variablen von ψ sollte sein ψ ¯ , Anstatt von ψ † da es Dirac-Einschränkungen für Systeme erster Ordnung gibt.
@ Qmechanic Du hast es nicht korrigiert. Die vonjugate-Variablen von ψ ist nicht ψ † , aber ψ ¯ .
Vielen Dank. Aber das sehe ich immer noch nicht ψ † wird ersetzt durch ψ ¯ .
Ich habe die Antwort aktualisiert.
@Qmechanic, „5.Es ist interessant, dass die freie Dirac-Lagrange-Dichte (5) L   =   ψ ¯ ( ich 2 ∂ ↔ − m ) ψ is (i) real", Stimmt nicht. Es ist ein imaginärer Ring: imaginäre Zahl ich multipliziert mit zwei (echten) Grassmann-ungerade Zahlen. Es ist aber hermitesch.
Das Wort reell bedeutet in dieser Antwort eine reelle Superzahl; nicht unbedingt eine reelle Zahl.
@Qmechanic, es ist eine imaginäre Superzahl ich a b , wobei a und b reelle Grassmann-Zahlen sind. Man kann überprüfen, ob es hermitesch ist: ( ich a b ) † = ich † b † a † = − ich b a = ich a b .
Wie in Fußnote 3 erläutert, folgt diese Antwort der deWitt-Konvention Gl. (10) wo komplexe Konjugation die Reihenfolge der Superzahlen umkehrt, so dass L ist eine echte Superzahl.
Klassische Fermion- und Grassmann-Zahl
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