Fermionenpropagator als Ableitung des Skalarpropagators

Question

Fermionenpropagator als Ableitung des Skalarpropagators

Physik
Fermionen
Verbreiter
Dirac-Gleichung
Quantenfeldtheorie

Jamie Bondi

Ich habe diesen Ausdruck in zwei Raumzeitdimensionen gesehen,

⟨ \bar{ψ} (X) ψ (0) ⟩ = γ^{μ} \partial_{μ} ⟨ ϕ (X) ϕ (0) ⟩

$\langle \bar{\psi}(x) \psi(0) \rangle = \gamma^\mu{\partial_\mu} \langle \phi(x) \phi(0) \rangle$

Die LHS ist der Fermionenpropagator, und die Erwartung auf der RHS ist der Skalarpropagator. Für den zweidimensionalen Fall ist der Skalarpropagator (unter der Annahme, dass alles masselos ist)

⟨ ϕ (X) ϕ (0) ⟩ = \int \frac{D^{2} P}{4 π^{2}} \frac{1}{P^{2}} e^{- ich P X}

$\langle \phi(x) \phi(0) \rangle = \int \frac{d^2p}{4\pi^2} \frac{1}{p^2} e^{-ipx}$

Zwei Fragen:

Warum ist der Fermionenpropagator vom Skalarpropagator abgeleitet?
Wie sind die Gammamatrizen in zwei Dimensionen definiert?

Antworten (5)

Fermionenpropagator als Ableitung des Skalarpropagators

Prahar · Answer 1

Der freie Skalar- und Fermionenpropagator ist

G_{ψ} (X, j) = \int \frac{D^{D} P}{(2 π)^{D}} \frac{- ich (γ^{μ} P_{μ} + M)}{P^{2} + M^{2} - ich ϵ} e^{- ich P \cdot (X - j)}

$G_\psi(x,y) = \int \frac{d^dp}{(2\pi)^d} \frac{-i(\gamma^\mu p_\mu + m)}{ p^2 + m^2 - i \epsilon} e^{- i p \cdot ( x - y ) }$ Der Skalarpropagator ist

G_{ϕ} (X, j) = \int \frac{D^{D} P}{(2 π)^{D}} \frac{- ich}{P^{2} + M^{2} - ich ϵ} e^{- ich P \cdot (X - j)}

$G_\phi(x,y) = \int \frac{d^dp}{(2\pi)^d} \frac{-i}{ p^2 + m^2 - i \epsilon} e^{- i p \cdot ( x - y ) }$ Deutlich,

G_{ψ} (X, j) = (ich γ^{μ} \partial_{μ} - M) G_{ϕ} (X, j) .

$G_\psi(x,y) = ( i \gamma^\mu \partial_\mu -m)G_\phi(x,y)~.$

PS - In jeder Dimension sind die Gammamatrizen so definiert, dass sie zufriedenstellend sind $\{ \gamma^\mu , \gamma^\nu \} = - 2 \eta^{\mu\nu}$ .

PPS - Ich verwende eine metrische Signatur $(-,+,+,+,\cdots)$ in dieser Antwort.

Es wird mir eine Freude sein, Ihnen für diese klare Erklärung über 10.000 Wiederholungen zu geben.
@Rokoko - haha! Vielen Dank. Ich habe tatsächlich auf diese zusätzliche 1 Wiederholung gewartet.
Kann ich davon ausgehen, dass die gleichen Trace-Identitäten in 2D gelten?
Nein. Einige (nicht alle) Spurenidentitäten hängen von der Dimension ab.

Benzian · Answer 2

\subsection{Spenor feynman Propagator} Betrachten Sie das Operatorfeld $b\psi$ um ein virtuelles Teilchen bei Ereignis y zu erzeugen, und $\psi$ um dieses virtuelle Teilchen Teilchen bei geradem x zu zerstören. Der Spinorpropagator enthält diese beiden Feldoperatoren. Der Propagator entspricht in Wirklichkeit einer Art Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion in y und x. Es stellt die Wahrscheinlichkeitsdichte von Dirac-Teilchen dar, die bei y erscheinen und bei x verschwinden. das zeigen wir kurz:\ für den virtuellen Spin $1/2$ Partikel Feynman Propagator waren\

ich S_{F} (X - j) = ⟨ 0 | T {ψ (X) B ψ (j)} | 0 ⟩ = ⟨ 0 | {ψ (X) B ψ (j)} | 0 ⟩

$\begin{equation} iS_{F}(x-y) = \langle 0 \vert T\lbrace \psi(x)b\psi(y)\rbrace \vert 0 \rangle = \langle 0 \vert \lbrace \psi(x)b\psi(y)\rbrace \vert 0 \rangle \end{equation}$ Wenn

t_{y} < t_{x}

$t_{y} < t_{x}$ ( Partikel)

= ⟨ 0 | [ψ^{+} (X), B ψ^{-} (j)]_{+} | 0 ⟩

$\begin{equation} = \langle 0 \vert[\psi^{+}(x), b\psi^{-}(y) ]_{+}\vert 0 \rangle \end{equation}$

= [ψ^{+} (X), B ψ^{-} (j)]_{+} ⟨ 0 | | 0 ⟩ = [ψ^{+} (X), B ψ^{-} (j)]_{+}

$\begin{equation} = [\psi^{+}(x), b\psi^{-}(y)]_{+}\langle 0 \vert \vert 0 \rangle = [ \psi^{+}(x), b\psi^{-}(y)]_{+} \end{equation}$

= ich S_{a β}^{+} (X - j) = \frac{1}{2 (2 π)^{3}} \int (S l P + M) \frac{e^{ich P (X - j)}}{E} D^{3} P = \frac{- ich}{(2 π)^{4}} \int_{C^{+}} \frac{(S l P + M) e^{- ich P (X - j)}}{P^{2} - M^{2}} D^{4} P

$\begin{equation} = iS_{\alpha\beta}^{+}(x - y) = \frac{1}{2(2\pi)^{3}}\int (slp + m)\frac{e^{ip(x - y)}}{E}d^{3}p = \frac{- i}{(2\pi)^{4}}\int_{c^{+}}\frac{(slp + m)e^{-ip(x - y)}}{p^{2} - m^{2}}d^{4}p \end{equation}$ für den virtuellen Spin

1 / 2

$1/2$ Partikel Feynman Propagator waren\

ich S_{F} (X - j) = ⟨ 0 | T {ψ (X) B ψ (j)} | 0 ⟩ = - ⟨ 0 | {B ψ (X) ψ (j)} | 0 ⟩

$\begin{equation} iS_{F}(x-y) = \langle 0 \vert T \lbrace \psi(x)b\psi(y)\rbrace \vert 0 \rangle = - \langle 0 \vert \lbrace b\psi(x)\psi(y)\rbrace \vert 0 \rangle \end{equation}$ Wenn

t_{y} < t_{x}

$t_{y} < t_{x}$ (Antiteilchen)

= ⟨ 0 | [B ψ^{+} (X), ψ^{-} (j)]_{+} | 0 ⟩

$\begin{equation} = \langle 0 \vert[b\psi^{+}(x), \psi^{-}(y) ]_{+}\vert 0 \rangle \end{equation}$

= [B ψ^{+} (X), ψ^{-} (j)]_{+} ⟨ 0 | | 0 ⟩ = [B ψ^{+} (X), ψ^{-} (j)]_{+}

$\begin{equation} = [b\psi^{+}(x), \psi^{-}(y)]_{+}\langle 0 \vert \vert 0 \rangle = [ b\psi^{+}(x), \psi^{-}(y)]_{+} \end{equation}$

= ich S^{-} (X - j) = - \frac{1}{2 (2 π)^{3}} \int (S l P - M) \frac{e^{ich P (X - j)}}{E} D^{3} P = \frac{ich}{(2 π)^{4}} \int_{C^{-}} \frac{(S l P + M) e^{- ich P (X - j)}}{P^{2} - M^{2}} D^{4} P

$\begin{equation} = iS^{-}(x - y) = -\frac{1}{2(2\pi)^{3}}\int (slp - m)\frac{e^{ip(x - y)}}{E}d^{3}p = \frac{ i}{(2\pi)^{4}}\int_{c^{-}}\frac{(slp + m)e^{-ip(x - y)}}{p^{2} - m^{2}}d^{4}p \end{equation}$ \ Die beiden Konturintegrale in den letzten Zeilen () und () wurden im letzten Schritt kombiniert, um das einzelne Integral über dem realen Raum zu erhalten, um das Endergebnis für \textit{\textbf{den Spinor-Feynman-Propagator }} zu erhalten

S_{F} (X - j) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{D^{4} P}{(2 π)^{4}} \frac{(S l P + M) e^{- ich P (X - j)}}{P^{2} - M^{2} + ich ε}

$\begin{equation} S_{F}(x - y) = \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{ d^{4}p}{(2\pi)^{4}}\frac{(slp + m)e^{-ip(x - y)}}{p^{2} - m^{2} + i\varepsilon} \end{equation}$ Die Impulsraumform des Propagators (seine Fourier-Transformation) ist

S_{F} (P) = \frac{S l P + M}{P^{2} - M^{2} + ich ε} = (S l P + M) Δ_{F} (P)

$\begin{equation} S_{F}(p) = \frac{slp + m}{p^{2} - m^{2} + i\varepsilon} = (slp + m)\Delta_{F}(p) \end{equation}$ Beachte das:

(S l P - M) (S l P + M) = γ^{μ} γ^{v} P_{μ} P_{v} - M^{2} = P^{2} - M^{2}

$\begin{equation} (slp - m)(slp + m) = \gamma^{\mu}\gamma^{\nu}p_{\mu}p_{\nu} - m^{2} = p^{2} - m^{2} \end{equation}$ Dann können wir mit multiplizieren

(s l p + m)

$(slp + m)$ Sowohl der Zähler als auch der Nenner in Gl. und umschreiben

S_{F} (p)

$S_{F}(p)$ in der Form,

S_{F} (P) = \frac{ich}{S l P - M} S l P = γ P

$\begin{equation} S_{F}(p) = \frac{i}{slp - m}\\ slp = \gamma p \end{equation}$

Ich fürchte, ich verstehe nicht ganz, wo dies die Frage beantwortet, warum der Fermionenpropagator das Derivat des Skalarpropagators ist. Können Sie das klären?

Benzian · Answer 3

Diese Antwort stammt aus meinem QFT-Vortrag, den ich vorbereitet habe. Ich wünsche Ihnen, dass Sie finden, was Sie wollen. Lassen Sie es mich wissen. Es ist besser, die Kollision zwischen zwei Teilchen als \textit{Amplitude} von \textit{Wahrscheinlichkeit} zu schreiben. Die perturbative Approximation der QFT geht davon aus, dass sich die Teilchen bis auf einige Punkte frei ausbreiten, wenn Quanten emittiert oder absorbiert werden. wir schreiben die Lösung von Bewegungsgleichungen als pertirbative Reihe um die freie Lösung von Bewegungsgleichungen des freien Feldes ergänzt. Die Methode verwendet die Funktion von Green, die R. Feynman seiner probabilistischen Interpretation der Implitude gegeben hat. Bewegungsgleichung des freien Bosons (Kein-Gordon-Gleichung) schreibt:\

(P^{2} - M^{2}) φ (P) = 0

$\begin{equation} \left( p^{2}-m^{2}\right) \varphi(p)=0 \end{equation}$ Wo

φ (p)

$\varphi(p)$ ist eine Skalarfunktion.\ Greensche Funktion

G (p)

$G(p)$ , im Impulsraum ist:

(P^{2} - M^{2}) G (P) = δ^{4} (P)

$\begin{equation} (p^{2}- m^{2})G(p)=\delta^{4}(p) \end{equation}$ Dann

G (p) = \frac{δ^{4} (p)}{p^{2} - m^{2}}

$G(p)=\frac{\delta^{4}(p)}{p^{2}-m^{2}}$ ,

δ^{4}

$\delta^{4}$ ist die Dirac-Funktion definiert als

δ^{4} (P) = δ (P_{0}) δ (P_{1}) δ (P_{2}) δ (P_{3})

$\begin{equation} \delta^{4}(p)=\delta(p_0)\delta(p_1)\delta(p_2)\delta(p_3) \end{equation}$ Die Feynman-Interpretation besagt, dass dieser Operator eine Amplitude der Wahrscheinlichkeit ist, dass sich das Boson mit Quadri-Impuls ausbreitet. Verbreiter =

\frac{i}{p^{2} - m^{2}}

$\frac{i}{p^{2}-m^{2}}$ . Auf die gleiche Weise definierte Feynman eine Wahrscheinlichkeitsamplitude, dass das Boson von Teilchen 1 emittiert (oder absorbiert) und/oder von Teilchen 2 von Wechselwirkungen absorbiert wird. Die Amplitude wird für verschiedene Arten von Wechselwirkungen zwischen verschiedenen Teilchen bestimmt, das Quadrat von Die Größe jeder Amplitude stellt sich als die Wahrscheinlichkeit heraus, dass diese bestimmte Wechselwirkung (Übergang) auftritt. Diese Übergangsamplituden hängen jeweils von den anfänglichen realen Teilchen, den endgültigen realen Teilchen und den virtuellen Teilchen ab, die den Übergang vermitteln. Es stellt sich heraus, dass der Faktor in der Amplitude, der den virtuellen Teilchenbeitrag darstellt, identisch mit dem Feynman-Propagator ist

Δ_{F}

$\Delta_F$ .\ \

Δ (X, j) = \int \frac{D^{4} k}{(2 π)^{4}} \exp^{- ich k (X - j)} \frac{1}{k^{2} - M^{2} + ich ε}

$\begin{equation} \Delta(x,y) = \int\frac{d^{4}k}{(2\pi)^{4}} \exp^{-ik(x-y)} \frac{1}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon} \\ \end{equation}$ wir können die 4-Impuls-Raumform des Propagators, die Fourier-Transformation von (3-30), leicht aufschreiben, was sehr nützlich sein wird

△_{F} (k) = \frac{1}{k^{2} - (M^{2} + ich ε)}

$\begin{equation} \triangle_{F}(k)= \frac{1}{k^{2}-(m^{2} + i\varepsilon)} \end{equation}$

Benzian · Answer 4

Der $\Gamma$ Matrizen können rekursiv konstruiert werden, d = 2 Unter Verwendung der Pauli-Matrizen, $\gamma _{0}=\sigma _{1}$ , $\gamma _{1}=-i\sigma _{2}$ wobei die beiden Gamma-Matrizen durch gegeben werden können $\Gamma^{1} =$
$\begin{pmatrix} 1& 0\\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}$
Und $\Gamma^{2} =$
$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$
Sie können dieses Dokument "Jeong-Hyuck Park, Vorlesungsnotiz über Clifford-Algebra" sehen

Benzian · Answer 5

Entschuldigung, Ihre Frage ist für mich seltsam, dass Gammamatrizen in zwei Dimensionen definiert sind !!!! wo findest du dieses thema

Pauli-Spinmatrizen

σ^{ich} = (σ^{1}, σ^{2}, σ^{3}), w H e R e :

$\begin{equation} \sigma^{i} = (\sigma^{1}, \sigma^{2}, \sigma^{3}) , where:\\ \end{equation}$

$\sigma^{1} =$
$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$
$\sigma^{2} =$ $\begin{pmatrix} 0 & - i\\ i & 0\\ \end{pmatrix}$ $\sigma^{3} =$ $\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & - 1\\ \end{pmatrix}$ $\sigma^{0} =$ $\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix}$ \ \

$I^{0} =$ $\begin{pmatrix} \sigma^{0} & \textbf{0}\\ \textbf{0} & \sigma^{0}\\ \end{pmatrix}$ $\textbf{0} =$ $\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}$ \ die Matrizen $\gamma_{\mu}$ Wehrpflichtige \textit{\textbf{Dirac-Matrizen}}, geschrieben werden: $\gamma_{\mu}$ = $\begin{pmatrix} 0 & -i\sigma_{i}\\ i\sigma_{i} & 0\\ \end{pmatrix}$ $i = 1, 2, 3$ $\gamma_{0}$ = $\begin{pmatrix} I & 0\\ 0 & - I\\ \end{pmatrix}$ \ \ Ich denke, dass Sie diese Lösung meinen, aber es bedeutet nicht zwei Dimensionen, wie ich denke: Wir haben die Dirac-Matrizen in Blöcken geschrieben $2\times2$ Matrizen, und es ist natürlich, das vierkomponentige Dirac-Feld in ähnlicher Weise als ein Paar von zweikomponentigen Feldern zu schreiben:\

$\Psi =$ $\begin{pmatrix} \Psi_{L}\\ \Psi_{R}\\ \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} \Psi_{L}\\ 0\\ \end{pmatrix}$ $+$ $\begin{pmatrix} 0\\ \Psi_{R}\\ \end{pmatrix}$ \ Wo $\Psi_{L}$ Und $\Psi_{R}$ sind jeweils die oberen und unteren zwei Komponenten des vierkomponentigen Dirac-Feldes:\ $\Psi_{L} =$ $\begin{pmatrix} \psi_{1}\\ \psi_{2}\\ \end{pmatrix}$ Und $\Psi_{R} =$ $\begin{pmatrix} \psi_{3}\\ \psi_{4}\\ \end{pmatrix}$ \ Die Dirac-Gleichung (5.2) wird zu:\ $i$ $\begin{pmatrix} \sigma^{0} & 0\\ 0 & \sigma^{0}\\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} \partial_{0}\Psi_{L}\\ \partial_{0}\Psi_{R}\\ \end{pmatrix}$ $+ i$ $\begin{pmatrix} - \sigma^{i} & 0\\ 0 & \sigma^{i}\\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} \partial_{i}\Psi_{L}\\ \partial_{i}\Psi_{R}\\ \end{pmatrix}$ $-m$ $\begin{pmatrix} 0 & \sigma^{0}\\ \sigma^{0} & 0\\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} \Psi_{L}\\ \Psi_{R}\\ \end{pmatrix}$ $= 0$ \ Blockmultiplikation ergibt dann zwei gekoppelte Gleichungen für $\Psi_{L}$ Und $\Psi_{R}$ :\

ich σ^{0} \partial_{0} Ψ_{L} - ich σ^{ich} \partial_{ich} Ψ_{L} - M Ψ_{R} = 0

$\begin{equation} i\sigma^{0}\partial_{0}\Psi_{L} - i\sigma^{i}\partial_{i}\Psi_{L} - m\Psi_{R} = 0 \end{equation}$

ich σ^{0} \partial_{0} Ψ_{R} + ich σ^{ich} \partial_{ich} ψ_{R} - M Ψ_{L} = 0

$\begin{equation} i\sigma^{0}\partial_{0}\Psi_{R} + i\sigma^{i}\partial_{i}\psi_{R} - m\Psi_{L} = 0 \end{equation}$ die Wellenfunktion ist jetzt bi-speror mit besessenen vier Komponenten:\

Ψ

$\Psi$ =

(\begin{matrix} ψ_{1} \\ ψ_{2} \\ ψ_{3} \\ ψ_{4} \end{matrix})

$\begin{pmatrix} \psi_{1}\\ \psi_{2}\\ \psi_{3}\\ \psi_{4}\\ \end{pmatrix}$

Nein nein Nein. Bei vielen Gelegenheiten wird die chirale Anomalie in zwei Dimensionen diskutiert (wobei die Geschichte viel einfacher ist als in vier Dimensionen). Um fortzufahren, muss man das Dreiecksdiagramm berechnen und sich natürlich mit Gammamatrizen befassen.
Ich schreibe Ihnen die Antwort unten, dieses Thema ist im Rahmen von "Clifford-Algebra".

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