Fermionfeldstruktur in nicht-abelschen Eichtheorien

Ich versuche, die Struktur der Fermionen in nicht-abelschen Eichtheorien zu verstehen. Haftungsausschluss: Meine Frage mag sehr trivial sein (ich vermute, die Antwort könnte einfach "eine Änderung der Basis" lauten), aber ich wäre dankbar, wenn jemand etwas Licht ins Dunkel bringen könnte, wenn etwas Tieferes um die Ecke lauert.

Betrachten wir den Yang-Mills-Lagrange

$$\mathcal{L} = -\frac{1}{4} (F_{\mu \nu}^a)^2 + \bar{\psi}(i \gamma^\mu D_\mu -m)\psi$$

Wo$D_\mu = \mathbf{1} \partial_\mu - i g A_\mu^a t^a$, Dann$\psi$muss sowohl Dirac ($\mu$) und Farbe (a) Freiheitsgrade. Ich bin verwirrt, wenn ich die normale Herangehensweise an das Problem ändere, und ich bin mir nicht sicher, ob es sich um ein echtes Problem handelt oder ob ich es nur zu kompliziert mache / überdenke.

Betrachten wir zum Beispiel$SU(N)$YM wo die Generatoren$t^a$Sind$N \times N$Matrizen, und es gibt$N^2-1$von ihnen. Daher die kovariante Ableitung$D_\mu$ist ein$N \times N$Matrix und Index$a$oben läuft über$N^2-1$Wert.

Wenn wir mit der Auftragsvergabe beginnen$D_\mu$mit dem$\gamma$-Matrizen,

$$(\gamma^\mu D_\mu)_{ij} = \delta_{ij} \gamma^\mu \partial_\mu - i g (\gamma^\mu A_\mu^a) (t^a)_{ij}$$

man bekommt ein$N \times N$Matrix von$4 \times 4$Matrizen. Die entsprechende$4N$-Komponentenobjekt, auf das diese Matrix einwirkt, ist das$N$Dirac-Spinoren in einer Spalte angeordnet.

Beachten Sie jedoch, dass wir stattdessen folgendermaßen beginnen:

$$(D_\mu \psi)_i = \partial_\mu \psi_i - i g A_\mu^a (t^a)_{ij} \psi_j$$

wir erhalten, dass die kovariante Ableitung wirkt$\Psi \equiv (\psi_1, \cdots, \psi_N)$. Soweit wir wissen,$\Psi$hat keine Spinorstruktur, da wir uns noch nicht mit den Gammamatrizen befasst haben.

Vertrag mit der$\gamma^\mu$, bekommt man a$4 \times 4$Matrix von$N \times N$Matrizen, die dieselben Informationen wie zuvor kodieren. Diesmal scheint es, als hätten wir nur einen Dirac-Spinor, bei dem jede Komponente a ist$N$-bewertetes Unterhemd.

Allerdings scheint es, dass die Matrix$\gamma^\mu D_\mu$und das$4N$-Komponenten-Spinor anders aussehen, obwohl wir lediglich die Reihenfolge geändert haben, in der wir die Dinge konstruiert haben.

Im ersten Fall bekommen wir$N$Spinoren entsprechend der$N$Farben der adjungierten Darstellung. In$SU(3)$, das wäre so, als würden wir sagen, dass wir effektiv 3 Spinoren haben, die den Farben Rot/Blau/Grün entsprechen$(\psi_R, \psi_B, \psi_G)$. Im zweiten Fall schlägt diese Identifizierung fehl, da wir nur ein großes kompliziertes Objekt haben.

Was schief gelaufen ist? Ist dieser Unterschied einfach eine Änderung der Basis für$\psi$? Gibt es etwas Relevantes, das wir lernen können, wenn wir den YM-Lagrange auf diese zwei verschiedene Arten betrachten?

Auch im ersten Fall, wenn wir bekommen$N$Spinoren, ich bin verwirrt über ihre Bedeutung. Ich bin immer davon ausgegangen, dass in QCD,$\psi$würde einem Quark entsprechen, das selbst ein Fermion ist. Bedeutet das, dass Quarks Fermionen sind, die durch fermionische Felder/Freiheitsgrade beschrieben werden können, die wir Farbe nennen?