Wenn die klassische Maxwell-Theorie E&M ziemlich gut beschreibt, wie gut ist dann die klassische Yang-Mills-Theorie für die Chromodynamik?

Dies wird in Jaffe-Wittens "Problembeschreibung" des Problems der Quantisierung der Yang-Mills-Theorie schön beantwortet :

Als in den 1950er Jahren die Yang-Mills-Theorie entdeckt wurde, war bereits bekannt, dass die Quantenversion der Maxwell-Theorie – bekannt als Quantenelektrodynamik oder QED – eine äußerst genaue Darstellung elektromagnetischer Felder und Kräfte liefert. Tatsächlich verbesserte QED die Genauigkeit für bestimmte frühere Vorhersagen der Quantentheorie um mehrere Größenordnungen und sagte auch neue Aufspaltungen von Energieniveaus voraus.

Es war daher naheliegend zu fragen, ob die nicht-abelsche Eichtheorie andere Kräfte in der Natur beschreibe, insbesondere die schwache Kraft (unter anderem verantwortlich für bestimmte Formen der Radioaktivität) und die starke oder nukleare Kraft (unter anderem verantwortlich für die Bindung von Protonen und Neutronen in Kerne). Die masselose Natur der klassischen Yang-Mills-Wellen war ein ernsthaftes Hindernis für die Anwendung der Yang-Mills-Theorie auf die anderen Kräfte, da die schwachen und nuklearen Kräfte eine kurze Reichweite haben und viele der Teilchen massiv sind. Daher schienen diese Phänomene nicht mit langreichweitigen Feldern verbunden zu sein, die masselose Teilchen beschreiben.

In den 1960er und 1970er Jahren überwanden Physiker diese Hindernisse für die physikalische Interpretation der nicht-abelschen Eichtheorie. Im Fall der schwachen Kraft wurde dies durch die elektroschwache Glashow-Salam-Weinberg-Theorie mit der Eichgruppe H = SU (2) × U (1) erreicht. Indem man die Theorie mit einem zusätzlichen „Higgs-Feld“ ausarbeitete, vermied man die masselose Natur klassischer Yang-Mills-Wellen. Das Higgs-Feld transformiert sich in eine zweidimensionale Darstellung von HH; Sein von Null verschiedener und ungefähr konstanter Wert im Vakuumzustand reduziert die Strukturgruppe von H auf eine U (1) -Untergruppe (diagonal eingebettet in SU (2) × U (1). Diese Theorie beschreibt sowohl die elektromagnetischen als auch die schwachen Kräfte in ein mehr oder weniger einheitlicher Weg; wegen der Reduktion der Strukturgruppe auf U(1) sind die weitreichenden Felder nur noch die des Elektromagnetismus, entsprechend dem, was wir in der Natur sehen.

Ganz anderer Natur ist die Lösung des Problems der masselosen Yang-Mills-Felder für die starken Wechselwirkungen. Diese Lösung kam nicht durch das Hinzufügen von Feldern zur Yang-Mills-Theorie, sondern durch die Entdeckung einer bemerkenswerten Eigenschaft der Quanten-Yang-Mills-Theorie selbst, das heißt der Quantentheorie, deren klassische Lagrange-Funktion die Yang-Mills-Lagrange-Funktion ist. Diese Eigenschaft wird „asymptotische Freiheit“ genannt. Grob bedeutet dies, dass das Feld auf kurze Entfernungen ein Quantenverhalten zeigt, das seinem klassischen Verhalten sehr ähnlich ist; doch auf weite Entfernungen ist die klassische Theorie kein guter Leitfaden mehr für das Quantenverhalten des Feldes.

Die asymptotische Freiheit ermöglichte zusammen mit anderen experimentellen und theoretischen Entdeckungen aus den 1960er und 1970er Jahren die Beschreibung der Kernkraft durch eine nicht-abelsche Eichtheorie, in der die Eichgruppe G=SU(3) ist. Die zusätzlichen Felder beschreiben auf klassischer Ebene „Quarks“, die Objekte mit Spin 1/2 sind, die dem Elektron in gewisser Weise analog sind, sich aber in die fundamentale Darstellung von SU(3) umwandeln. Die nicht-abelsche Eichtheorie der starken Kraft heißt Quantenchromodynamik (QCD).

Die Verwendung von QCD zur Beschreibung der starken Kraft wurde durch eine ganze Reihe experimenteller und theoretischer Entdeckungen motiviert, die in den 1960er und 1970er Jahren gemacht wurden und die Symmetrien und das Hochenergieverhalten der starken Wechselwirkungen beinhalteten. Aber die klassische nicht-abelsche Eichtheorie unterscheidet sich stark von der beobachteten Welt der starken Wechselwirkungen ; Damit QCD die starke Kraft erfolgreich beschreiben kann, muss sie auf Quantenebene die folgenden drei Eigenschaften haben, von denen sich jede dramatisch vom Verhalten der klassischen Theorie unterscheidet:

(1) Es muss eine „Massenlücke“ haben; es muss nämlich eine Konstante Δ > 0 geben, sodass jede Erregung des Vakuums eine Energie von mindestens Δ hat.

(2) Es muss „Quark-Confinement“ haben, das heißt, obwohl die Theorie in Begriffen von Elementarfeldern wie den Quarkfeldern beschrieben wird, die unter SU(3) die physikalischen Teilchenzustände nicht trivial umwandeln – wie z das Proton, Neutron und Pion – sind SU(3)-invariant.

(3) Es muss „chirale Symmetriebrechung“ haben, was bedeutet, dass das Vakuum nur unter einer bestimmten Untergruppe der vollständigen Symmetriegruppe, die auf die Quarkfelder wirkt, potenziell invariant ist (in der Grenze, dass die Quark-nackten Massen verschwinden).

Der erste Punkt ist notwendig, um zu erklären, warum die Kernkraft stark, aber von kurzer Reichweite ist; die zweite wird benötigt, um zu erklären, warum wir niemals einzelne Quarks sehen; und der dritte wird benötigt, um die in den 1960er Jahren entwickelte Theorie der weichen Pionen der „aktuellen Algebra“ zu erklären.

Sowohl Experimente – denn QCD hat zahlreiche Erfolge im Vergleich zu Experimenten – als auch Computersimulationen, die seit Ende der 1970er Jahre durchgeführt wurden, haben stark dafür gesorgt, dass QCD die oben genannten Eigenschaften besitzt. Diese Eigenschaften können bis zu einem gewissen Grad in theoretischen Berechnungen gesehen werden, die in einer Vielzahl von stark vereinfachten Modellen (wie der stark gekoppelten Gittereichtheorie) durchgeführt wurden. Aber sie sind theoretisch nicht vollständig verstanden; Es gibt keine überzeugende, ob mathematisch vollständige, theoretische Berechnung, die eine der drei Eigenschaften in QCD demonstriert, im Gegensatz zu einer stark vereinfachten Kürzung davon.