Zeichen vor kinetischen QFT-Termen

Ja. Allerdings wird die Energie nicht grenzenlos sein, sondern von oben begrenzt, wenn meine Rechnung stimmt.

Für reelles Skalarfeld unter$(+---)$metrisch, neben der negativen klassischen kinetischen Energie für die Lagrange-Funktion

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{2} \partial^{\mu} \phi \partial_{\mu} \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 \tag{1}$$ , wird die klassische Bewegungsgleichung sein $$(\square - m^2 )\phi=0 . \tag{2}$$ Für ebene Welle $\phi ~\sim e^{ipx}$, es gibt $p^2+m^2 = (p^0)^2 - \mathbf{p}^2+m^2=0$was mit der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung nicht vereinbar ist. Ich bin mir nicht sicher, ob es notwendig ist, es zu quantisieren.

Obwohl das Energie-Impuls-Verhältnis-Argument für das Dirac-Feld nicht funktioniert, können wir es quantisieren, um zu sehen, dass die Energie negativ definit ist.

$$\mathcal{L} = \bar{\psi}( -i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m ) \psi \tag{3}$$

Die klassische Bewegungsgleichung lautet

$$(i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} +m) \psi=0 \tag{4}$$

Um alle Eigenschaften von zu bewahren$u(\mathbf{p})$Und$v(\mathbf{p})$, wir definieren

$$\psi =: u(\mathbf{p}) e^{ipx}$$ $$\psi =: v(\mathbf{p}) e^{-ipx}$$
Somit können wir die ersetzen $u(\mathbf{p})$als $v(\mathbf{p})$Und $v(\mathbf{p})$als $u(\mathbf{p})$beim Ausbau von $\psi$Und $\bar{\psi}$. Von $$\pi = -i \bar{\psi} \gamma^0$$ Dann $$H= \int d^3 x \bar{\psi} ( i \gamma^i \partial_i \psi + m ) \psi$$

Stecken Sie Erweiterungen von Spinoren in das Schrödinger-Bild ein

$$\psi = \int \frac{ d^3 p }{ (2\pi)^3} \frac{1}{ \sqrt{2 E_{\mathbf{p}}}} \sum_s \left( a_{\mathbf{p}}^s v^s (\mathbf{p}) e^{-i\mathbf{p} \cdot \mathbf{x} } + b_{\mathbf{p}}^{s\dagger} u^s(\mathbf{p}) e^{i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x} } \right)$$ $$\bar{\psi} = \int \frac{ d^3 p }{ (2\pi)^3} \frac{1}{ \sqrt{2 E_{\mathbf{p}}}} \sum_s \left( b_{\mathbf{p}}^s \bar{u}^s (\mathbf{p}) e^{-i\mathbf{p} \cdot \mathbf{x}} + a_{\mathbf{p}}^{s\dagger} \bar{v}^s(\mathbf{p}) e^{i\mathbf{p} \cdot \mathbf{x}} \right)$$ wir haben

$$H = \sum_{ss'} \int \frac{d^3p}{ (2\pi)^3 2E_{\mathbf{p}} } b_{\mathbf{p}}^{s'} b_{\mathbf{p}}^{s\dagger} \bar{u}^{s'}(\mathbf{p}) ( - \gamma^i p_i +m) u^s(\mathbf{p}) + a_{\mathbf{p}}^{s'\dagger} a_{\mathbf{p}}^{s} \bar{v}^{s'}(\mathbf{p}) ( \gamma^i p_i +m) v^s(\mathbf{p})$$ $$= \sum_{ss'} \int \frac{d^3p}{ (2\pi)^3 2E_{\mathbf{p}} } b_{\mathbf{p}}^{s'} b_{\mathbf{p}}^{s\dagger} \bar{u}^{s'}(\mathbf{p}) ( \gamma^0 p_0 ) u^s(\mathbf{p}) + a_{\mathbf{p}}^{s'\dagger} a_{\mathbf{p}}^{s} \bar{v}^{s'}(\mathbf{p}) ( - \gamma^0 p_0 ) v^s(\mathbf{p})$$ $$= \sum_s \int \frac{ d^3p}{ (2\pi)^3} E_{\mathbf{p}} ( b_{\mathbf{p}}^{s} b_{\mathbf{p}}^{s\dagger} - a_{\mathbf{p}}^{s\dagger} a_{\mathbf{p}}^{s} )$$ $$= \sum_s \int \frac{ d^3p}{ (2\pi)^3} - E_{\mathbf{p}} (b_{\mathbf{p}}^{s\dagger} b_{\mathbf{p}}^{s} + a_{\mathbf{p}}^{s\dagger} a_{\mathbf{p}}^{s} ) - \infty$$

Das Ändern des Antikommutators in den Kommutator macht das Spektrum unbegrenzt.

Das Vorzeichen ist in der Tat wichtig, um sicherzustellen, dass das Energiespektrum nach unten begrenzt wird. Außerdem muss sich die Potentialmulde für einen Skalar für Stabilität "öffnen". Es gibt also wirklich zwei Dinge, die Sie meinen könnten, wenn Sie über die Änderung des Vorzeichens des kinetischen Terms sprechen.

Ändern des relativen Vorzeichens zwischen dem kinetischen Term und der höchsten Potenz von$\phi$im Potential (Massenterm im Freifeldfall) ist nicht zulässig, wie aus der klassischen Bewegungsgleichung in der obigen Antwort ersichtlich ist. Das Ändern des Vorzeichens von allem ist erlaubt, vorausgesetzt, Sie ändern auch die Konventionen, wie Sie die Theorie quantifizieren.$[\phi(t, x), \dot{\phi}(t, y)] = i\delta(x-y)$Nur wenn der konjugierte Impuls ist, ist die richtige Vertauschungsrelation aufzuerlegen$\dot{\phi}$. Es könnte natürlich sein$-\dot{\phi}$wenn wir wollten.

Für Spinoren ist die Situation ähnlich, wenn wir das Gesamtzeichen ändern. Das heißt, es macht nur Sinn, wenn wir zurückgehen und alle Anti-Vertauschungs-Beziehungen umkehren, die wir normalerweise für selbstverständlich halten. Das relative Vorzeichen zwischen dem kinetischen und dem Massenterm ist jedoch nicht mehr physikalisch, wie in dieser Antwort erläutert .