Können wir ψcψc\psi^{c} als einen von ψψ\psi unabhängigen Körper behandeln?

Wenn wir die Dirac-Gleichung aus der Lagrange-Funktion ableiten,

L = ψ ¯ ich γ μ ∂ μ ψ − M ψ ¯ ψ ,
wir nehmen an ψ Und ψ ¯ = ψ ∗ T γ 0 sind unabhängig. Wenn wir also die Ableitung der Lagrangefunktion in Bezug auf nehmen ψ ¯ , erhalten wir die Dirac-Gleichung
0 = ∂ μ ∂ L ∂ ( ∂ μ ψ ¯ ) = ∂ L ∂ ψ ¯ = ( ich γ μ ∂ μ − M ) ψ .

Wenn wir nun einen Begriff mit Ladungskonjugation einfügen, ψ C = − ich γ 2 ψ ∗ , ins Lagrange (wie Δ L = ψ ¯ ψ C ), macht dies ψ C darauf ankommen ψ ¯ oder ψ ? Warum oder warum nicht?

Wenn ψ C kommt drauf an ψ , warum sollte das nicht der Grund sein ψ ¯ Und ψ sind selbstständig zu beantragen ψ C Und ψ ?

Wenn ψ C kommt drauf an ψ ¯ , wie sollen wir Ableitung von nehmen Δ L gegenüber ψ ¯ ?

Antworten (2)

Ja, wenn wir die Bewegungsgleichung unter Verwendung der Euler-Lagrange-Gleichung erhalten möchten, sollten wir behandeln ψ Und ψ C unabhängig, aber ψ ¯ Und ψ C abhängig. Der Grund dafür ist, dass wir einfach ausgedrückt können ψ C bezüglich ψ ¯ von

ψ C = C ψ ¯ T ,
Wo C = − ich γ 2 γ 0 ist die Ladungskonjugationsmatrix. So ψ ¯ Und ψ C haben den gleichen Freiheitsgrad.

Für die Ableitung von ψ ¯ ψ C gegenüber ψ ¯ , da sollte man wirklich aufpassen ψ ist Anti-Pendeln. Da die Ableitung in der Euler-Lagrange-Gleichung tatsächlich aus der Variation des Lagrange stammt, sollten wir mit der Variation beginnen

δ ( ψ ¯ ψ C ) = δ ( ψ ¯ C ψ ¯ T ) = δ ( ψ ich ¯ C ich J ψ J ¯ ) = δ ( ψ ich ¯ ) C ich J ψ J ¯ + ψ ich ¯ C ich J δ ψ J ¯ = δ ( ψ ich ¯ ) C ich J ψ J ¯ − δ ( ψ J ¯ ) C ich J ψ ich ¯ ,
wo ich die Antikommutierung der Felder verwende, um das Minuszeichen für den letzten Schritt zu erhalten. Jetzt beachte das C T = C + = − C . Der letzte Term ist also
− δ ( ψ J ¯ ) C ich J ψ ich ¯ = δ ( ψ J ¯ ) C J ich ψ ich ¯ = δ ( ψ ich ¯ ) C ich J ψ J ¯ .
und wir bekommen δ ( ψ ¯ ψ C ) = 2 δ ( ψ ¯ ) C ψ ¯ T . Daher ist die Bewegungsgleichung aus diesem Term
∂ ∂ ψ ¯ ( ψ ¯ ψ C ) = 2 C ψ ¯ T = 2 ψ C .

I) Der Dirac-Spinor ψ und sein komplexes Konjugat ψ ∗ sind keine unabhängigen Variablen, aber in einigen Berechnungen kann man sie als solche behandeln .

Für die ähnliche Frage zu einem komplexen Skalarfeld ϕ und sein komplexes Konjugat ϕ ∗ , siehe zB diesen Phys.SE-Beitrag.

II) Das ladungskonjugierte Feld ψ C = − ich γ 2 ψ ∗ ist an das komplexe Konjugat gebunden ψ ∗ durch eine bijektive Transformation, so dass sie nicht unabhängig sind.

Danke für deine kurze Antwort. Ich bin verwirrt. Für eine komplexe Variable z man kann es immer als Real- und Imaginärteil schreiben z = X + ich j . Wenn Sie rechnen ∂ z ∗ ∂ z oder ∂ z ∂ z ∗ , sie sind beide Null. Das ist also der gleiche Grund, warum man nehmen sollte ∂ ϕ ∗ ∂ ϕ = 0 , Rechts?
Unter Hinweis auf die genaue Definition von ∂ z ∗ ∂ z = 0 = ∂ z ∂ z ∗ , bedeutet dies nicht unbedingt z Und z ∗ sind unabhängige Variablen. Einerseits, wenn z ∗ bezeichnet das komplexe Konjugat von z (so dass z Und z ∗ keine unabhängigen Variablen sind ), dann ∂ z ∗ ∂ z = 0 = ∂ z ∂ z ∗ sind lediglich Folgen einschlägiger Definitionen. Andererseits, wenn z Und z ∗ sind wirklich unabhängig. komplexe Variablen also ∂ z ∗ ∂ z = 0 = ∂ z ∂ z ∗ ist automatisch.
Schreiben kann man immer X = z + z ∗ 2 Und j = z − z ∗ 2 ich . Dann kann man die Ableitung ausdrücken als ∂ z = ∂ X ∂ z ∂ X + ∂ j ∂ z ∂ j = ∂ X − ich ∂ j 2 Also bekommt man ∂ z ∗ ∂ z = ∂ z ∂ z ∗ = 0 . Vielleicht ist "unabhängig" kein gutes Wort, um es zu beschreiben, aber zumindest ist es die Ableitung, die in die Ableitung der Euler-Lagrange-Gleichung eingeht.
Können wir ψcψc\psi^{c} als einen von ψψ\psi unabhängigen Körper behandeln?
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