Komplexe Konjugation negativer Energielösungen der Klein-Gordon-Gleichung

Ich werde keine vollständige Herleitung geben (die in vielen Büchern und Vorlesungsunterlagen zu finden ist, zum Beispiel in Abschnitt 2.5 von David Tongs QFT-Vorlesungsunterlagen , dem ich für diese Antwort folge), sondern nur die Hauptergebnisse skizzieren.

Die Modenerweiterung für ein komplexes Skalarfeld$\phi$im Heisenberg-Bild kann geschrieben werden als

$$\begin{equation} \phi(x, t) = \int \frac{{\rm d}^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{2 E_\vec{p}} \left( b_\vec{p} e^{i p_\mu x^\mu} + c_\vec{p}^\dagger e^{- i p_\mu x^\mu}\right) \end{equation}$$ und für sein hermitisches Konjugat$\phi^\dagger$als $$\begin{equation} \phi^\dagger(x, t) = \int \frac{{\rm d}^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{2 E_\vec{p}} \left( b^\dagger_\vec{p} e^{-i p_\mu x^\mu} + c_\vec{p} e^{i p_\mu x^\mu}\right) \end{equation}$$ Wo$E_\vec{p}=+\sqrt{\vec{p}^2 + m^2}$und wo$p_\mu x^\mu = -E_\vec{p} t + \vec{p} \cdot \vec{x}$. Beachten Sie, dass in der Erweiterung für$\phi$, der Betreiber$b_\vec{p}$ist mit einem negativen Energiephasenfaktor verbunden$\sim e^{-i E_\vec{p} t}$, während$c^\dagger$ist mit einem positiven Energiephasenfaktor verbunden$\sim e^{i E_\vec{p} t}$.

Beachten Sie nebenbei, dass (klassisch gesprochen)$\phi$Und$\phi^\dagger$(Eigentlich würde ich sagen$\phi^\star$klassisch) sind verschiedene Lösungen der Bewegungsgleichungen. Obwohl Sie erhalten können$\phi^\dagger$aus$\phi$,$\phi$Und$\phi^\dagger$sind verschiedene Funktionen, und es ist eine nicht triviale Aussage, dass beide Funktionen Lösungen der Bewegungsgleichung sind, in dem Sinne, dass eine Funktion und ihre komplexe Konjugierte nicht beide Lösungen einer generischen Differentialgleichung sind . Dies ist analog zu wie$\psi(x)$Und$\psi(x+L)$sind beide Lösungen der Schrödinger-Gleichung für ein Potential, das unter periodisch ist$x\rightarrow x+L$, aber eine Übersetzung führt nicht generisch zu einer neuen Lösung für beliebige Potentiale.

Nach einigen in Tong und anderen Ressourcen beschriebenen Arbeiten$^\star$, können Sie zeigen, dass die Operatoren$b_\vec{p}$Und$c_\vec{p}$den Beziehungen gehorchen

$$\begin{eqnarray} [b_\vec{p}, b^\dagger_{\vec{p}'}] &=& (2\pi)^3 \delta(\vec{p}-\vec{p}') \\ [c_\vec{p}, c^\dagger_{\vec{p}'}] &=& (2\pi)^3 \delta(\vec{p}-\vec{p}') \\ [b_\vec{p}, b_{\vec{p}'}] &=& 0 \\ [c_\vec{p}, c_{\vec{p}'}] &=& 0 \\ [b_\vec{p}, c_{\vec{p}'}] &=& 0 \\ [b_\vec{p}, c^\dagger_{\vec{p}'}] &=& 0 \end{eqnarray}$$ Mit anderen Worten,$b$Und$c$fungieren als Erzeugungsoperatoren für zwei verschiedene Arten von Teilchen mit derselben Masse und demselben Spin und entgegengesetzten Ladungen. Da man beide Arten von Teilchen nicht vermeiden kann, wenn man eine Theorie mit einem komplexen Skalarfeld hat (wie aus der Modenentwicklung ersichtlich ist), verwenden wir eine Sprache, um zu betonen, dass diese Teilchen verwandt sind. Lassen Sie uns eine Konvention wählen, die$c^\dagger$erzeugt Partikel , und$b^\dagger$erzeugt Antiteilchen .

Seit$\phi \sim b+ c^\dagger$, grob gesagt$\phi$"erzeugt Teilchen" und "vernichtet Antiteilchen", während es umgekehrt für ist$\phi^\dagger$. Dies ist der strengere Sinn, in dem die komplexe Konjugation (des Feldoperators$\phi$) bezieht sich (die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für) Teilchen und Antiteilchen.

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$^\star$Genauer gesagt leiten Sie die Moduserweiterung des konjugierten Impulses ab$\phi$Und$\phi^\dagger$, nehmen die Standard-Vertauschungsbeziehungen an$[\phi(x), \pi(x')] = i \delta(x-x')$Und$[\phi(x), \pi^\dagger(x')] = 0$, und erarbeiten Sie die Konsequenzen für die Kommutatoren von$b_\vec{p}$Und$c_\vec{p}$.

Der Noether-erhaltene geladene Strom für die freie Klein-Gordon-Gleichung ist

$$j^\mu = \frac{ie}{2m}\left( \psi^*\partial^\mu \psi - \psi \partial^\mu \psi^* \right) \,.$$ Die unveränderliche Gesamtladung$\int d^3x j^0$hat das gleiche Vorzeichen wie$\omega$. Dieses Zeichen dreht sich bei komplexer Konjugation um.

Ich habe die Ursache meiner Verwirrung mit meiner obigen Frage gefunden. Ich werde es im Folgenden erweitern. Ich beschränke die Erklärung auf die Klein-Gordon (KG)-Gleichung. Ich werde die Teilchen, die der KG-Gleichung folgen, Mesonen nennen. Für Elektronen/Positronen nach der Dirac-Gleichung ist es ungefähr dasselbe, außer dass die Mathematik komplizierter ist.

Wenn wir die Lösungen der komplexen KG-Gleichung suchen$(\Box +m^2)\phi =0$2 Lösungen lassen sich finden:

$$\phi_+ = N e^{-i p x} \quad \text{and}\quad \phi_- =N e^{+ipx}$$

$N$ein geeigneter Normalisierungsfaktor ist. Während die erste Lösung entspricht$E=\sqrt{\mathbf{p}^2 +m^2}$die zweite entspricht$E=-\sqrt{\mathbf{p}^2 +m^2}$. (Die Dispersionsrelation der KG-Gleichung$p^2=m^2$erlaubt 2 Lösungen.) Beide Lösungen lassen sich durch komplexe Konjugation in die jeweils andere überführen:

$$(\phi_+)^{\ast} = \phi_- \quad \text{and}\quad (\phi_-)^{\ast} = \phi_+\tag{0}$$

Dieses Verhalten ist so wichtig, dass es mit dem Namen "Ladungskonjugation" geprägt wurde und die negative Energielösung "mit Antiteilchen assoziiert" wird. Diese Operation schaltet offensichtlich zwischen Teilchen- und Antiteilchenlösungen um. (Es hat seine Entsprechung, wenn man an die Feldoperatoren denkt:$\Psi$erzeugt Antiteilchen, wohingegen$\Psi^\dagger$erzeugt Partikel, wenn es auf den Vakuumzustand angewendet wird.)

Wir werden jetzt herausfinden, was genau "assoziiert mit Antiteilchen" wirklich bedeutet. Dazu koppeln wir die Mesonen an das elektromagnetische Feld. Die entsprechende Gleichung lautet:

$$\left[-\left(i\partial^\mu -e A^\mu\right)(i\partial_\mu - e A_\mu) + m^2\right]\phi =0$$

oder

$$(\Box +m^2)\phi = -ie\left(\partial_\mu(A^\mu \phi) + A^\mu \partial_\mu \phi \right)+ e^2 A_\mu A^\mu \phi$$

Eigentlich sollte die Gleichung für die Antiteilchenlösung bis auf das Vorzeichen der Ladung gleich sein$e$:

$$(\Box +m^2)\phi = ie\left(\partial_\mu(A^\mu \phi) + A^\mu \partial_\mu \phi \right)+ e^2 A_\mu A^\mu \phi$$

Die Lösung dieser Gleichung ist also sehr einfach zu finden. Es ist nur:

$$\phi_{anti} = \phi^\ast\tag{1}$$

Es ist also genau so, wie wir es erwartet haben. Überhaupt keine Überraschung. Aber sind wir wirklich sicher? Sehen wir uns das anhand eines einfachen Fallbeispiels an. Wir werden ein paar vereinfachende Annahmen treffen. Erstens ist das elektromagnetische Feld nur ein konstantes, gleichförmiges elektrostatisches Feld:$A^\mu = (V,0,0,0)$. Zweitens betrachten wir Mesonen nur in ihrem Ruhesystem, dh ihr Impuls ist Null. Drittens nehmen wir an, dass wir Terme vernachlässigen können$O(e^2)$. Dann kann die letzte Gleichung wie folgt geschrieben werden:

$$(\Box +m^2)\phi = -2ie V \frac{\partial \phi}{\partial t}\quad\tag{2}$$

Wir können die Lösungen dieser Gleichung erraten:

$$\phi_+ = N e^{-i(m+eV) t} \quad \text{and}\quad \phi_- = N e^{i(m-eV) t}$$

indem Sie sie in die obige Gleichung einsetzen.

Wir wollen die Anti-Partikel-Lösung wissen. Wir bekommen es einfach durch komplexe Konjugation:

$$(\phi_+)^\ast = N e^{i(m+eV) t}$$

Da die negative Energielösung mit Antiteilchen assoziiert ist und die negative Energielösung durch komplexe Konjugation aus der positiven Energielösung erhalten wird, sollte es so sein, nicht wahr? Aber etwas stimmt nicht damit. Der (Energie-)Modul dieser Anti-Teilchen-Lösung ist sowohl für das Meson als auch für das Anti-Meson gleich. Das ist merkwürdig. Es würde vernachlässigt, dass das äußere Feld seine Polarität geändert hat und sich dies in der Energie widerspiegeln sollte.

Wir haben anscheinend übersehen, dass es eine zweite Lösung für Gleichung (2) gibt, nämlich$\phi_- = e^{i(m-eV) t}$und seine komplexe Konjugation ergibt:

$$(\phi_-)^{\ast} = N e^{-i(m-eV)t}$$ .

was tatsächlich zeigt, dass sich die Energie ändert, wenn sich die Polarität des elektrostatischen Feldes ändert. Also dieser hier ist der Richtige. Diese Lösung hat auch die schöne Eigenschaft, sich in die Zukunft auszubreiten. Daher ist die Schlussfolgerung, dass wir die richtige Antiteilchenlösung erhalten, wenn wir die negative Frequenz/Energie-Lösung komplexkonjugieren und nicht die positive Frequenz/Energie-Lösung. Aber tatsächlich scheint die letztere Wahl aus Gleichung (1) so offensichtlich zu sein. Das war der Grund für meine Verwirrung.

Die nun gezeigte innige Beziehung zwischen der Negativfrequenzlösung und der Antiteilchenlösung über Komplexkonjugation kann jedoch nur gut gesehen werden, wenn ein externes elektromagnetisches Feld in die Berechnung einbezogen wird. Sonst kommt man zu kuriosen Ergebnissen wie (kein externes EM-Feld):

$$((\phi_+)^\ast)^\ast = (\phi_-)^\ast = \phi_+\tag{3}$$

bei dem die$\phi_+$auf der linken Seite ist eine Partikellösung, während die$\phi_+$auf der rechten Seite ist eine Anti-Partikel-Lösung. Die erste Gleichheit kommt von (0) und die zweite Gleichheit von dem, was wir gerade gesehen haben. Nun, (3) spiegelt die Tatsache wider, dass ein Teilchen und ein Antiteilchen völlig identisch sein sollten, wenn sie keinem externen EM-Feld ausgesetzt sind. Aber – das war ein weiterer Grund für meine Verwirrung – die Operation in (3) sieht viel mehr aus wie ein Wechsel zwischen Teilchen und Antiteilchen, ist aber nicht so, wie Ladungskonjugation tatsächlich definiert ist. Ein genauerer Blick zeigt jedoch, dass (3) nicht mehr gültig ist, sobald ein externes EM-Feld ungleich Null angelegt wird.