Lösung der Klein-Gordon-Gleichung: reale Feldbedingungen und andere Fragen

Entschuldigung für die lange Frage, so ziemlich der gesamte Text ist die Standardableitung der Lösung der KG-Gleichung, die ich eingefügt habe, um meine Zweifel zu veranschaulichen, und einige Fragen stehen am Ende. Die Klein-Gordon-Gleichung ist

$$(\partial^2+m^2)\phi(x)=0\tag{1}$$ Wo$\partial^2=\partial_\mu\partial^\mu$. Nehmen einer Fourier-Transformation von$\phi$

$$\phi(x)=\int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4}\phi(k)e^{ikx} \tag{2}$$

und es in die Gleichung einsetzen, die wir haben

$$\int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4}(k^2-m^2)\phi(k)e^{ikx}=0\tag{3}$$

was impliziert

$$(k^2-m^2)\phi(k)=0 \implies \phi(k)=2\pi f(k)\delta(k^2-m^2) \tag{4}$$

für irgendeine Funktion$f$. Definieren$\omega=\sqrt{\mathbf{k}^2+m^2}$Wo$k=(k_0, \mathbf{k}$), Dann

$$\delta(k^2-m^2)=\frac{1}{2\omega}\left[\delta(k_0-\omega)+\delta(k_0+\omega)\right]\tag{5}$$

Und unsere Lösung wird

$$\phi(x)=\int \frac{d^4 k}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega}\left[\delta(k_0-\omega)+\delta(k_0+\omega)\right]f(k)e^{ikx}\tag{6}$$

Ausführen der Integration auf$k_0$

$$\phi(x)=\int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega}(f(\omega,\mathbf{k})e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}+i\omega t}+f(-\omega,\mathbf{k})e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}-i\omega t})\tag{7}$$

Im zweiten Term können wir die Variable ändern$\mathbf{k}\rightarrow-\mathbf{k}$und bekomme

$$\phi(x)=\int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega}(f(\omega,\mathbf{k})e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}+i\omega t}+f(-\omega,-\mathbf{k})e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}-i\omega t})\tag{8}$$

Nun: Alle Quellen, die ich finden kann, gehen weiter und verlangen, dass das Feld real sein muss, und schreiben so etwas wie

$$\phi(x)=\int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega}(a(\omega,\mathbf{k})e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}+i\omega t}+a^\dagger(\omega,\mathbf{k})e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}-i\omega t})\tag{9}$$

und dies wird als "allgemeine Lösung der Klein-Gordon-Gleichung" dargestellt.

Fragen:

1. Warum sollten wir auferlegen, dass das Feld real ist, dh$f(-\omega, -\mathbf{k})=f(\omega, \mathbf{k})^\dagger$? Ich sehe keinen mathematischen Grund dafür, und ich sehe nicht ein, warum ein komplexes Feld physikalische Probleme aufwerfen sollte. Ich kenne die Interpretation des harmonischen Oszillators, aber ich würde sagen, dass diese Interpretation eine Folge der Tatsache ist, dass das Feld real ist und nicht umgekehrt. Warum eliminieren wir komplexe Feldlösungen?

2. Sind die$2\pi$Faktoren wichtig? In Gleichung$(4)$Ich habe einen Faktor eingeführt$2\pi$nur damit die endgültige Lösung mit der in Standardquellen angegebenen übereinstimmt, aber ich sehe keinen weiteren Grund, sie hinzuzufügen (eigentlich ist das ganze "Die Lösung muss eine Funktion mal Delta sein" etwas skizzenhaft, wie zu Sieh dir das an?)

3. Manche geben die Lösung mit an$\sqrt{\omega}$anstatt$\omega$im Nenner (z. B. Peskin & Schroeder) in Analogie zum harmonischen Oszillator. Um zu versuchen, dies zu erreichen, dachte ich an die Definition$a(\omega,k)=\sqrt{\omega}f(\omega,k)$anstatt$a(\omega,k)=f(\omega,k)$. Macht das Sinn? Haben die beiden Lösungen einen physikalischen Unterschied?