Felderweiterung bei Peskin & Schroeder

Question

Felderweiterung bei Peskin & Schroeder

Physik
Konventionen
Zeitentwicklung
Fourier-Transformation
Quantenfeldtheorie
Klein-Gordon-Gleichung

Okazaki

Peskin und Schroeder sagen etwas, was ich nicht ganz verstehe. Genauer gesagt denke ich, dass es nur auf eine Weise formuliert ist, die ich nicht verstehe.

Im Schrödinger-Bild können wir das reelle Skalarfeld erweitern $\phi(x)$ was die Klein-Gordon-Gleichung als erfüllt

ϕ (X) = \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 E_{P}}} (A_{P} e^{ich px} + A_{P}^{†} e^{- ich px}) .

$\phi(\textbf{x})=\displaystyle\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_p}}(a_pe^{i\textbf{p.x}}+a_p^\dagger e^{-i\textbf{p.x}}).$

Dann finden wir natürlich $\phi(x)=\phi(\textbf{x},t)$ durch Umschalten auf das Heisenberg-Bild.

Jetzt, auf Seite 83, heißt es

Zu jeder festen Zeit $t_0$ wir können natürlich erweitern $\phi$ in Bezug auf Leiteroperatoren
$ϕ (X, T_{0}) = \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 E_{P}}} (A_{P} e^{ich px} + A_{P}^{†} e^{- ich px}) .$ $\phi(\textbf{x},t_0)=\displaystyle\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_p}}(a_pe^{i\textbf{p.x}}+a_p^\dagger e^{-i\textbf{p.x}}).$ Dann zu erhalten $\phi(\textbf{x},t)$ für $t\neq t_0$ wir schalten einfach auf das Heisenberg-Bild um $ϕ (X, T) = e^{ich H (T - T_{0})} ϕ (X, T_{0}) e^{- ich H (T - T_{0})} .$ $\phi(\textbf{x},t)=e^{iH(t-t_0)}\phi(\textbf{x},t_0)e^{-iH(t-t_0)}.$

Das erste Problem ist, dass sie sagen, wir wechseln zum Heisenberg-Bild, was impliziert, dass wir von Anfang an im Schrödinger-Bild waren. Aber wie kann das dann $\phi$ zeitabhängig sein, dh warum ist es abhängig von $t_0$ , wenngleich $t_0$ erscheint nirgendwo in der Erweiterung?

Sagen sie das nur etwas unbeholfen $\phi$ im Schrödinger-Bild (offensichtlich) nicht zeitunabhängig ist, wählen wir eine bestimmte Zeitscheibe (wo unsere Zustände jetzt zeitfixiert sind) und dann entwickelt sich die Zeit von dort aus? Es sollte keine Rolle spielen, da ich mir vorstellen könnte, dass wir es hätten tun sollen $\phi(t_0)=\phi(t')$ für ein andermal $t'$

geniert

Was Peskin und Schroeder den Betreiber nennen

t_{0}

$t_0$ ist eigentlich der Betreiber bei

t_{0} = 0

$t_0=0$ , und deshalb sehen Sie keine Zeitabhängigkeit (Sie bewerten es mit

t_{0} = 0

$t_0=0$ ); das Buch setzt diesen Missbrauch der Terminologie auch später fort, und es ist ein Fehler. Im Übrigen: Felder sind im Heisenberg-Bild immer zu meinen, weil sie Operatoren sind und nicht Element eines Fock-Raums (auf den sie stattdessen wirken); als solches gibt es kein Schrödinger-Bild, und dies ist eines der anderen Dinge, bei denen Peskin und Schroeder falsch liegen.

Bosonando

@GennaroTedesco

t_{0} = 0

$t_0 = 0$ hat nichts besonderes. Sie können bei bewerten

t_{0} = 100

$t_0= 100$ s oder

t_{0} = 57168.12

$t_0 = 57168.12$ s oder irgendwelche

t_{0}

$t_0$ dass Sie wollen, aber es muss eine feste Zeit sein. Und jeder Operator kann im Schrödinger-Bild (Konstante) oder im Heisenberg-Bild oder im Wechselwirkungsbild (in beiden Fällen zeitabhängig) sein, man muss nur eine Einheitstransformation machen, um zwischen ihnen umzuschalten.

geniert

@Bosoneando

t_{0} = 0

$t_0=0$ hat etwas Besonderes, nämlich die Exponentialfunktion

e^{- i k_{0} t}

$\textrm{e}^{-ik_0t}$ wird

1

$1$ und somit sieht man es in der Erweiterung nicht mehr. Wenn Sie eine andere Zeit wählen, können Sie diesen Begriff in der Formel nicht entfernen. Genau aus diesem Grund fangen Sie vom Feld an an

t = 0

$t=0$ und werten Sie dann die späteren Zeiten aus, indem Sie die verwenden

U (t, 0)

$U(t,0)$ .

Okazaki

@GennaroTedesco In der Tat basierend auf den anderen Sachen in Peskin, insbesondere Gleichung 2.47, die das Feld im Heisenberg-Bild ist. Das stimmt nur mit t=0 mit dem Schrödinger-Bild überein.

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Felderweiterung bei Peskin & Schroeder

Was Peskin und Schroeder den Betreiber nennen $t_0$ ist eigentlich der Betreiber bei $t_0=0$ , und deshalb sehen Sie keine Zeitabhängigkeit (Sie bewerten es mit $t_0=0$ ); das Buch setzt diesen Missbrauch der Terminologie auch später fort, und es ist ein Fehler. Im Übrigen: Felder sind im Heisenberg-Bild immer zu meinen, weil sie Operatoren sind und nicht Element eines Fock-Raums (auf den sie stattdessen wirken); als solches gibt es kein Schrödinger-Bild, und dies ist eines der anderen Dinge, bei denen Peskin und Schroeder falsch liegen.
@GennaroTedesco $t_0 = 0$ hat nichts besonderes. Sie können bei bewerten $t_0= 100$ s oder $t_0 = 57168.12$ s oder irgendwelche $t_0$ dass Sie wollen, aber es muss eine feste Zeit sein. Und jeder Operator kann im Schrödinger-Bild (Konstante) oder im Heisenberg-Bild oder im Wechselwirkungsbild (in beiden Fällen zeitabhängig) sein, man muss nur eine Einheitstransformation machen, um zwischen ihnen umzuschalten.
@Bosoneando $t_0=0$ hat etwas Besonderes, nämlich die Exponentialfunktion $\textrm{e}^{-ik_0t}$ wird $1$ und somit sieht man es in der Erweiterung nicht mehr. Wenn Sie eine andere Zeit wählen, können Sie diesen Begriff in der Formel nicht entfernen. Genau aus diesem Grund fangen Sie vom Feld an an $t=0$ und werten Sie dann die späteren Zeiten aus, indem Sie die verwenden $U(t,0)$ .
@GennaroTedesco In der Tat basierend auf den anderen Sachen in Peskin, insbesondere Gleichung 2.47, die das Feld im Heisenberg-Bild ist. Das stimmt nur mit t=0 mit dem Schrödinger-Bild überein.

QMechaniker · Answer 1

QMechaniker

Das Ergebnis ist, dass wir eine Bedingung brauchen, um anzugeben, wie die Operatoren im Schrödinger- und Heisenberg-Bild zusammenhängen. Dies geschieht gewöhnlich dadurch, dass erklärt wird, dass die beiden Bilder zu einem bestimmten Zeitpunkt übereinstimmen $t_0$ .

Zusammenfassend: Der Schrödinger-Operator $\phi(\textbf{x},t_0)$ ist nicht zeitabhängig $t$ , während der Heisenberg-Operator $\phi(\textbf{x},t)$ hängt von der zeit ab $t$ . Bei Kets und BHs ist es umgekehrt.

geniert

Das sagt der Betreiber zur Zeit

t_{0}

$t_0$ nicht von der Zeit abhängt, ist falsch. Das tut es natürlich, aber die Abhängigkeit wird ausgeblendet, nachdem Sie das integriert haben

k_{0}

$k_0$ variabel und drücken alles in Bezug auf die Energie aus. Außerdem gilt dies nur für das freie Feld, weil Kommutatoren der Leiteroperatoren und in diesem Fall zeitunabhängig sind (was für kein anderes nicht-freies Feld gilt).

Okazaki

@Qmechanic Ich denke, die Notation ist vielleicht nur schlecht. Kann ich definieren

ϕ^{S} (x) = ϕ (t_{0}, x)

$\phi^{S}(\textbf{x})=\phi(t_0,\textbf{x})$ und dann erweitern

ϕ^{S} (x)

$\phi^{S}(\textbf{x})$ in Bezug auf Leiteroperatoren? Dies würde die Erweiterung in Peskin und durch Definition ergeben

ϕ^{H} (x, t) = e^{i H (t - t_{0})} ϕ^{S} (x) e^{- i H (t - t_{0})}

$\phi^{H}(\textbf{x},t)=e^{iH(t-t_0)}\phi^{S}(\textbf{x})e^{-iH(t-t_0)}$ alles würde stimmen.

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