Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren in QFT

Es hat mit der Feynman-Stuckelberg-Interpretation negativer Energielösungen als ausgehende Antiteilchen zu tun.

Eine ebene Wellenmode mit negativer Energie ist gegeben durch

$$a(\vec p)e^{-i(Et-\vec p\cdot\vec x)},\quad E<0,$$ was geschrieben werden kann als $$a(\vec p)e^{i(Et+\vec p\cdot\vec x)},\quad E>0.$$ Da die ebene Wellenausdehnung eine Summe über alle 3-Impulse ist, können wir sie schreiben als $$\int d^3pa(\vec p)e^{i(Et+\vec p\cdot\vec x)}=\int d^3pa(-\vec p)e^{i(Et-\vec p\cdot\vec x)}=\int d^3pa(\vec p)d^3pe^{ipx},\quad E>0.$$

Allerdings müssen alle Teilchen in der Theorie positive Energie haben, also müssen wir eine Interpretation zu negativen Energie-/Frequenzmoden geben. Das Ändern des Zeitzeichens ist gleichbedeutend mit dem Ändern des Ladungszeichens und dem Reflektieren des 3-Impulses des Teilchens. Daher, wenn wir die Theorie und die Koeffizienten zweitens quantisieren$a,a^\dagger$Teilchen zugeordnet sind, dann werden die Koeffizienten, die negativen Frequenzen entsprechen, Antiteilchen zugeordnet,$b,b^\dagger$. Außerdem entsprechen diese Moden einem reflektierten 3-Impuls (negative Zeit) und wir interpretieren dies als ausgehende Antiteilchen, solange wir die positiven Frequenzmoden als einfallende Teilchen interpretieren. Mit abgehend meinen wir ein Teilchen, das im System erzeugt wird und es dann verlässt, also einem Erzeugungsoperator zugeordnet werden muss. Ein ankommendes Teilchen tritt in das System ein und wird von ihm absorbiert, wodurch es einem Vernichtungsoperator zugeordnet wird.