Sinn für QFT

Um Ihre konkreten Fragen zu beantworten:

Soll nun dieser Hamilton-Operator in der Schrödinger-Gleichung in QM angewendet werden?

Ja. Dieser Operator beschreibt die Entwicklung des Quantenzustands genau so, wie Sie es gewohnt sind. Der Zustand zu einem bestimmten Zeitpunkt ist nämlich beispielsweise ein Vektor in einem Hilbert-Raum$\lvert\text{state}\rangle$, und der Zustand einige Zeit$t$später ist$e^{-iHt}\lvert\text{state}\rangle$. Das wirft die Frage auf...

Auf welchen Vektorraum wird dieser Hamilton-Operator wirken?

Im Allgemeinen ist der Hilbert-Raum einer QFT die komplexe Spannweite des Raums der Feldkonfigurationen. Beispielsweise sind für ein reelles Skalarfeld die Feldkonfigurationen alle Funktionen aus dem Raum$\mathbb{R}^d$(nicht Raumzeit, nur Raum) zu$\mathbb{R}$. Symbolisch die Menge der Feldkonfigurationen$B$Ist

$$B=\{\phi\,|\,\phi:\mathbb{R}^d\rightarrow\mathbb{R}\}.$$

Jetzt nimm$B$die formale Basis für einen Vektorraum zu sein$\mathcal{H}$. Dies ist der Hilbert-Raum von QFT. Also wenn$\phi_1$Und$\phi_2$sind zwei verschiedene Funktionen aus$\mathbb{R}^d$Zu$\mathbb{R}$, enthält der Hilbert-Raum Zustände wie$\vert\phi_1\rangle$,$\vert\phi_2\rangle$, Und$\alpha\vert\phi_1\rangle+\beta\vert\phi_2\rangle$. (Beachten Sie, dass dies nicht der Fall ist$\alpha\vert\phi\rangle=\vert\alpha\phi\rangle$, und das ist nicht der Fall$\vert\phi_s\rangle+\vert\phi_2\rangle=\vert\phi_1+\phi_2\rangle$. Die Linearkombinationen wie$\alpha\vert\phi_1\rangle+\beta\vert\phi_2\rangle$sind formell . Beachten Sie auch, dass wir die verschiedenen Elemente von nehmen$B$formal orthogonal sein. Also wenn$\phi_1\neq\phi_2$wir haben$\langle\phi_2\vert\phi_1\rangle=0$.) Dieser Hilbertraum$\mathcal{H}$ist tatsächlich der Hilbert-Raum, auf den der Hamilton-Operator wirkt. So könnte zum Beispiel irgendwann der Zustand des Universums sein$\alpha\vert\phi_1\rangle+\beta\vert\phi_2\rangle$. Dann der Zustand des Universums irgendwann$t$später wird

$$e^{-iHt}(\alpha\vert\phi_1\rangle+\beta\vert\phi_2\rangle).$$ So wie Sie es gewohnt sind.

(Man könnte in Betracht ziehen, einen Hilbert-Raum dieser Form als Definition dessen zu haben, was eine QFT ist . Es ist schließlich schon im Namen: Eine Quantenfeldtheorie ist nur eine Quantentheorie, bei der die Zustände Überlagerungen von Feldkonfigurationen sind und nicht, sagen wir, Überlagerungen von Partikelkonfigurationen. Alle anderen Objekte/Eigenschaften, über die in einem QFT-Kurs üblicherweise gesprochen wird, wie Lagrange, Lorentz-Symmetrie usw., sind alles nur Extras. Es gibt tatsächlich richtige QFTs ohne Lagrange-Formulierungen oder ohne Lorentz-Symmetrie und so An.)

Wann/wie wird der Partikelerzeugungs-Vernichtungsprozess ins Bild kommen?

Wir haben jetzt einen Hilbertraum$\mathcal{H}$, und wir haben eine Grundlage dafür,$B$. Wie bei jedem Vektorraum gibt es viele Möglichkeiten der Basis für$\mathcal{H}$. Die Basis$B$stellt sich als nicht die einzige (oder sogar die nützlichste) Grundlage heraus. Denken Sie daran, dass im Ein-Teilchen-QM neben der Positionsbasis$\{\vert x\rangle\}_{x\in\mathbb{R}}$, ist eine gemeinsame Basis für den Hilbert-Raum die harmonische Oszillator-Eigenzustandsbasis:$\{\vert0\rangle,a^\dagger\vert0\rangle,a^\dagger a^\dagger\vert0\rangle,\ldots\}$. In der QFT spricht man oft von der "Fock-Raum"-Basis, die analog zur Eigenzustandsbasis des harmonischen Oszillators ist, die Sie aus der Ein-Teilchen-QM kennen.

Die Elemente von$B$haben die physikalische Interpretation von Feldkonfigurationen. Die Elemente der Fock-Basis hingegen haben die physikalische Deutung von Teilchen. Diese beiden Basen für$\mathcal{H}$hängen natürlich durch so etwas wie eine einheitliche Transformation zusammen. Also Staaten von der Fock-Basis wie$a^\dagger_p a^\dagger_q\vert 0\rangle$kann als "Summe" von Feldkonfigurationszuständen wie geschrieben werden$\vert \phi\rangle$. Und Feldkonfigurationszustände wie$\vert \phi_1\rangle$oder$\alpha\vert\phi_1\rangle+\beta\vert\phi_2\rangle$können als "Summen" von Fock-Basiszuständen geschrieben werden. In der Praxis führt der Weg zwischen diesen beiden Basen hin und her über die Relation

$$\hat{\phi}(x)=\int\!\frac{\mathrm{d}^dp}{(2\pi)^d}\,\frac{1}{\sqrt{2\omega_p}}(a_pe^{-ip\cdot x}+a^\dagger_pe^{ip\cdot x}),$$ Wo $\hat{\phi}(x)$sind die Feldoperatoren, deren Operatoren die Elemente von sind $B$sind Eigenzustände. (z. B. der Betreiber $\hat{\phi}(x)$Einwirken auf $\vert\phi_1\rangle\in B$gibt $\hat{\phi}(x)\vert\phi_1\rangle=\phi_1(x)\vert\phi_1\rangle.$)

Erkenne, dass das Obige alles nur eine grobe Skizze ist. Aber es ist die Skizze, die Sie im Kopf behalten sollten, wenn Sie etwas über QFT lernen. Nun zur redaktionellen Bearbeitung. Viele Lehrbücher und Kurse erklären diese Grundlagen schlecht. Tatsächlich ist die QFT-Pädagogik voll von so schlechten Konzepten wie „zweite Quantisierung“ und falschen Aussagen wie „QFT ist QM, das mit der speziellen Relativitätstheorie kompatibel gemacht wurde“, „Die Klein-Gordon- und Dirac-Gleichungen sind relativistische Versionen der Schrödinger-Gleichung“, „In QFT verwenden wir die Heisenberg-Gleichung, nicht die Schrödinger-Gleichung“, „Wir ersetzen die Wellenfunktion von QM durch den Feldoperator“, „Es gibt keine Wellenfunktionen in QFT“ und eine Million andere.

Die schnelle und schmutzige Version ist, dass Sie alle Teilchen eines bestimmten Typs als Anregungen einer Reihe von harmonischen Quantenoszillatoren modellieren:

$$H = \int\frac{\mathrm{d}^{3}\vec{p}}{(2\pi)^3} E_{\vec{p}} \left(a_{\vec{p}}^{\dagger}a_{\vec{p}} + \frac{1}{2}\right)$$

also ein Impulsteilchen$\vec{p}$wäre das$|1\rangle$Zustand des harmonischen Impulsoszillators$\vec{p}$. Notiz$E_{\vec{p}}^2 - \vec{p}^2 = m^2$in natürlichen Einheiten u$E_{\vec{p}}$ist eine Winkelfrequenz nach der De-Broglie-Beziehung. Um dies zu vereinfachen, definieren Sie einen sogenannten "Feldoperator", mit dem Sie in Position statt im Impulsraum arbeiten können:

$$\phi = \int\frac{\mathrm{d}^{3}\vec{p}}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\vec{p}}}\left(a_{\vec{p}} \mathrm{e}^{-ipx} + a^{\dagger}_{\vec{p}} \mathrm{e}^{ipx}\right)$$

Wo$p$Und$x$ohne Pfeile zeigt Vier-Vektoren und Vier-Positionen an. Wenn Sie dies einstecken und durch die Algebra tuckern, erhalten Sie den standardmäßigen feldtheoretischen Hamilton-Operator für ein freies (skalares) Feld:

$$H = \int \mathrm{d}^{3}\vec{x}\left(\left(\frac{\partial\phi}{\partial t}\right)^2 + \left(\nabla\phi\right)^2 - m^2\phi^2\right)$$

Der Hilbert-Raum für diesen Hamilton-Operator ist genau das, was Sie von einem Satz harmonischer Oszillatoren erwarten würden:

$$\mathcal{H} = \bigotimes_{\vec{p}}\mathcal{H}_{\vec{p}}$$

Wo$\mathcal{H}_{\vec{p}}$ist der Hilbert-Raum für einen einzelnen harmonischen Oszillator, und im Ausdruck für den Hamilton-Operator haben wir wirklich eine unzählige Reihe von unterdrückt$\otimes \mathbb{I} \otimes$vor und nach jedem Leiterbediener. Manchmal nennen die Leute dies einen Fock-Raum, aber es ist nicht wirklich ein Fock-Raum. Es hat ähnliche Eigenschaften, aber sein Aufbau ist sehr unterschiedlich [1].

Für die Dynamik verwenden Sie das Heisenberg-Bild und insbesondere die Heisenberg-Gleichung ( nicht die Schrödinger-Gleichung):

$$\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t} = i\left[H,\phi\right] \\ \frac{\mathrm{d}\pi}{\mathrm{d}t} = i\left[H,\pi\right]$$

Wo$\pi = \frac{\partial\phi}{\partial t}$ist das Impulskonjugat des Feldes, das auf die übliche Weise aus der Lagrange-Funktion definiert ist. Auch hier werden Sie beim Durchforsten der Algebra feststellen, dass das Feld der Klein-Gordon-Gleichung gehorcht:

$$\left(\Box + m^2\right)\phi = 0$$

Natürlich ist dies eine ziemlich bizarre Aussage über das Universum. Warum sind alle Teilchen Anregung eines harmonischen Oszillators? Ist es nur eine Annäherung, wie so viele Dinge in der Physik, die durch harmonische Oszillatoren modelliert werden, oder geht da etwas Grundlegenderes vor sich?

Offensichtlich ist die Antwort, dass es etwas Grundlegenderes gibt. Um es zu sehen, muss man sich die differenzielle geometrische Struktur der Raumzeit-Mannigfaltigkeit ansehen, und insbesondere die unterschiedlichen Darstellungen ihrer Isotropiegruppe (der Lorentz-Gruppe). Dabei sehen Sie, dass das Positionsraumbild der natürliche Ausgangspunkt ist und sich erstaunlicherweise in harmonische Oszillatoren verwandelt, wenn Sie eine Fourier-Transformation durchführen. Im Wesentlichen ist dies der wahre mathematische Formalismus der kanonischen Quantisierung.

Ich gehe gerne auf die technischen Details dieser Konstruktion ein, wenn Sie möchten (es erklärt auch Vektorfelder und Spinorfelder, was der obige Ansatz nicht tut), aber es ist hauptsächlich von mathematischem und philosophischem Interesse und nicht von praktischem mit Berechnungen. (Es ist auch nützlich, wenn Sie sich die Vereinigung und andere Dinge ansehen möchten, nehme ich an.)

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[1]: Insbesondere$\mathcal{H}$ist schon mit der Idee der Ununterscheidbarkeit eingebaut, denn wenn du schon den Staat nennst$|2\rangle$eines harmonischen Oszillators ein 2-Teilchen-Zustand (bei dem beide den gleichen Impuls haben), gibt es bereits kein Konzept dafür, 'welches Teilchen 1 und welches 2 ist'.