Klein-Gordon-Innenprodukt

Beim Studium des Skalarfeldes und der Klein-Gordon-Gleichung in der Quantenfeldtheorie bin ich auf diese Definition für das Skalarprodukt im Raum der Lösungen der KG-Gleichung gestoßen:

⟨ Φ 1 | Φ 2 ⟩ = ich ∫ d x → ( Φ 1 ∗ ∂ 0 ↔ Φ 2 ) = ich ∫ d x → ( Φ 1 ∗ ∂ 0 Φ 2 − Φ 2 ∂ 0 Φ 1 ∗ ) .

Ich sehe, dass diese Definition unter Poincaré-Transformationen invariant sein sollte, aber ich konnte es nicht beweisen.

Außerdem konnte ich den Grund nicht finden, warum ein solches Skalarprodukt eingeführt wird. Gibt es nicht andere mögliche Skalarprodukte? Warum dieses wählen?

Etwas zum Nachdenken: Betrachten Sie die Strömung J μ = ich Φ 1 ∗ ∂ μ Φ 2 − ich Φ 2 ∂ μ Φ 1 ∗ und vielleicht eingestellt μ = 0 ... Was soll man dazu sagen J μ ?
Eine gründliche Behandlung dieses Ausdrucks finden Sie in diesem Artikel .

Antworten (1)

Das Klein-Gordon-Innerprodukt ist eine natürliche Konstruktion für Funktionen, die auf dem Massenhyperboloid definiert sind k 2 = m 2 , denn wenn Sie Ihre Funktion im Impulsraum schreiben,

ϕ ( x ) ∼ ∫ d k ~   e − ich k x a ( k ) + hc
mit d k ~ die Maßnahme an k 2 = m 2 , dann werden die Fourier-Koeffizienten (Ref. 1, Abschnitt 3-1-2)
a ( k ) = ⟨ ϕ , exp k ⟩
wo exp k ⁡ ( x ) ≡ e − ich k x .

Die Philosophie ist dieselbe wie bei der Standard-Fourier-Transformation (oder anderen Integraltransformationen, dh Basisänderungen), bei der Sie die Funktion im Impulsraum durch ein geeignetes Skalarprodukt mit der Exponentialfunktion (oder welcher Basis Sie auch immer verwenden) wiederherstellen können Funktionsraum). Im Allgemeinen wird die Form des Skalarprodukts durch die Form der Integraltransformation bestimmt.

Darauf sollte man hinweisen, auch wenn ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ eine natürliche Konstruktion ist, ist der eigentliche Grund, warum wir dieses spezielle Integral definieren, der, dass es im Beweis der LSZ-Formel für Skalare erscheint (Lit. 1, Abschnitt 5-1-4).

Verweise

  1. Itzykson und Zuber, Quantenfeldtheorie .
Anmerkung: Hier könnten einige Anzeichen falsch sein.
Aber wenn Sie ein willkürliches inneres Produkt haben ( , ) du kriegst ( ϕ ( x ) , exp k ⁡ ( x ) ) = c ( k ) bei dem die c ( k ) sind die Entwicklungskoeffizienten von ϕ jetzt, ich . e . in Bezug auf dieses andere beliebige innere Produkt ϕ ( x ) = ∫ [ c ( k ) exp k ⁡ ( x ) + c ( k ) ∗ exp − k ⁡ ( x ) ] . Was hindert mich daran, ein Upgrade durchzuführen c ( k ) zu Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren (taken [ c ( k ) , c ( p ) ] = . . . usw.) und das Feld auf diese Weise in Bezug auf das beliebige innere Produkt quantisiert? Ich denke, die Frage läuft jetzt darauf hinaus, was die definierende Eigenschaft von ist a ( k ) hier?
@Greg.Paul Nichts hindert Sie daran. Die Frage ist, ob es sinnvoll ist. In jedem Fall ist das innere Produkt im Wesentlichen eindeutig: Der Kern ist der Wronski-Operator für die PDE (vgl. diesen PSE-Beitrag ).
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