Poincaré-Gruppe zum Quanten-Klein-Gordon-Feld (C*-algebraisches Szenario)

Zum gleichen Thema wie diese Frage habe ich versucht, mit dem freien realen KG-Feld in der flachen Raumzeit im C * -algebraischen Szenario (Haag-Kastler-Axiome, Weyl-Quantisierung usw.) herumzuspielen.

Da ich über das freie (lineare) Klein-Gordon-Feld spreche, wird die C*-Algebra als die von den unitären Weyl-Operatoren erzeugte CCR-Algebra genommen W ( F ) (mit F eine Testfunktion), die als Exponentialfunktion der Feldoperatoren angesehen werden kann, exp ⁡ ( ich Φ ( F ) ) .

Die Aktion der Poincare-Gruppe wird üblicherweise für die Körperoperatoren (Borchers-Algebra) mit etwas als angegeben a ( Λ , A ) Φ ( X ) = Φ ( Λ X + A ) , als operatorwertige Verteilungen. Nun stelle ich mir vor, dass man das zu Weyl-Betreibern so etwas transportieren kann a ( Λ , A ) W ( F ) = exp ⁡ ( ich [ a ( Λ , A ) Φ ] ( F ) ) .

Meine Fragen sind

  1. Ist der Ausdruck für W ( F ) richtig?
  2. Erweitert sich die Wirkung auf die Weyl-Einheiten zu einer netten Wirkung auf die CCR-Algebra? Durch *-Automorphismen? Ist es innerlich oder äußerlich oder was?
  3. Wo kann ich darüber lesen? Ich könnte eine "für Dummies" -Referenz verwenden ...

[EDIT: Notation korrigiert, als Vorschlag von user1504]

Antworten (1)

0) Es ist seltsam, die Aktion mit zu bezeichnen A D ; dies ist normalerweise für adjungierte Aktionen reserviert. Ich werde verwenden ρ .

1) Dein Ausdruck ist richtig. Beachten Sie, dass ( ρ Φ ) ( F ) definiert ist Φ ( ρ F ) . Am Ende übersetzen und transformieren wir nur die Testfunktionen.

2) Es sollte. Ich bin mir nicht 100% sicher. Eigentlich müsste es ein innerer Automorphismus sein, da man aus den Feldoperatoren Generatoren für die Poincare-Algebra konstruieren kann. (Siehe Peskin & Schroder, Kapitel 2, die Diskussion des Satzes von Noether.) Aber es könnte ärgerliche technische Details geben, die sich aus Ihrer Entscheidung ergeben, die Weyl-Operatoren anstelle der Rohoperatoren zu verwenden Φ ( F ) beobachtbar.

3) Wenn ich mich richtig erinnere, behandelt Baez' Buch Introduction to Algebraic & Constructive Field Quantum Field Theory dieses Material in der Sprache, die Sie zu bevorzugen scheinen.

Sehr geehrter user1504, vielen Dank für Ihre Antwort. Ich stimme vollkommen zu A D , ich werde die Frage bearbeiten, um das zu ändern. Lassen Sie mich nur anmerken, dass Ihre (1) Antwort wahrscheinlich die "doppelte" Aktion für die Testfunktionen ( ( Λ , A ) F ( X ) = F ( Λ − 1 ( X − A ) ) ). Über (2), nun, das war mein ursprüngliches Problem, da es scheint, dass die Generatoroperatoren aus der einheitlichen Darstellung stammen, nicht aus der adjungierten. Da die Feldoperatoren nur vorhanden sind, wenn Sie "analytische" Zustände und ihre GNS-Darstellung nehmen, bin ich mir nicht sicher, ob man sie im C * -algebraischen Szenario frei verwenden kann.
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