Wurde die freie Quantenfeldtheorie von Klein-Gordon in das algebraische Gerüst von Haag-Kastler eingepasst? (Eigentlich sagte mir John Baez "Ja", und er sollte es wissen.) Wenn ja, können Sie die grundlegende Strategie beschreiben und/oder Hinweise geben?
Die gleiche Frage für die freie Dirac-Feldtheorie.
Ja, das sind die Standardbeispiele. Einige Referenzen sind hier zusammengestellt .
Für eine schnelle Übersicht/Übersicht siehe zum Beispiel Folien 11-17 in
Die Diskussion des freien Skalars auf Minkowski und der gekrümmten Raumzeit findet sich in Abschnitt 3.2 von
Eine Diskussion über das Dirac-Feld und seine Deformationen findet sich beispielsweise in
Es gibt noch viele mehr, jagen Sie einfach Referenzen hinterher. Wenn überhaupt ein Beispiel diskutiert wird, dann das freie Skalarfeld. Das motivierte und lehrte einen Großteil der Theorie. Die Kunst besteht darin, über dieses Beispiel hinauszugehen.
Wie Urs in seiner Antwort erwähnte, bilden freie Felder wirklich die Leitbeispiele für die verschiedenen axiomatischen Systeme der QFT. Die Konstruktion freier Felder im Minkowski-Raum ist ein Standardbestandteil der Theorie, obwohl es einiges Suchen erfordern kann, um die genaue Referenz zu finden, wo überprüft wird, ob eine solche Konstruktion den gewünschten Satz von Axiomen erfüllt. Insbesondere für das Haag-Kastler-Axiomsystem muss man, sobald die Theorie auf dem gesamten Minkowski-Raum aufgebaut ist, Injektivität und Isomorphie der Algebren zeigen, die in Teilmengen des Minkowski-Raums lokalisiert sind, in Bezug auf geeignete Einschlüsse dieser Teilmengen.
Konstruktionen verschiedener freier bosonischer und fermionischer Felder, einschließlich der speziellen Fälle von Skalar- und Dirac-Feldern, können in diesen klassischen Referenzen in etwas unterschiedlichem Detaillierungsgrad gefunden werden:
Baez, JC, Segal, IE, Zhou, Z., Einführung in die algebraische und konstruktive Quantenfeldtheorie (Princeton, 1992)
Wald, RM, Quantenfeldtheorie in gekrümmter Raumzeit und Thermodynamik schwarzer Löcher , (Chicago, 1994).
Es gibt zwei Hauptphasen des Baus. Man muss den linearen Lösungsraum als symplektische Mannigfaltigkeit aufbauen (das ist der klassische Phasenraum). Dann muss man die Funktionenalgebra auf diesem Raum in eine nichtkommutative umwandeln -Algebra von Quantenobservablen (das ist Quantisierung). Da die fraglichen Theorien linear sind, wird dies, sobald die notwendige Funktionsanalyse vorhanden ist, durch eine unendlich dimensionale Version dessen durchgeführt, wie es für einen einfachen harmonischen Oszillator durchgeführt wird. Für Fermionen ist es ziemlich einfach. Für Bosonen muss man den Zwischentrick verwenden, mit der Algebra beschränkter Funktionen zu arbeiten, die durch potenzierte verschmierte Felder erzeugt werden (das ist die Weyl-Algebra). Die tatsächlichen unbegrenzten Operatoren, die verschmierte Felder darstellen, werden konstruiert, indem Ableitungen der Elemente der Weyl-Algebra genommen werden, sobald eine Darstellung gewählt wurde.
Dieselben Schritte tauchen auch in der Arbeit an QFT über gekrümmte Raumzeit auf, wo verschiedene Referenzen die einzelnen Schritte in unterschiedlichem Detaillierungsgrad beschrieben. Um aus den letzteren Konstruktionen so etwas wie die Haag-Kastler-Axiome herauszuholen, muss man sich einfach auf Raumzeiten beschränken, die aus kausal-rautenförmigen Unterräumen des Minkowski-Raums bestehen. Klassische Referenzen für bestimmte Feldtheorien sind:
Der größte technische Knackpunkt in diesen Referenzen ist, wie sie nicht-kompakte Cauchy-Oberflächen behandeln (oder nicht behandeln).
Die moderne Verallgemeinerung der Haag-Kastler-Axiome auf beliebige global hyperbolische Lorentz-Raumzeiten sind die Brunetti-Fredenhagen-Verch-Axiome (oder Locally Covariant Quantum Field Theory). Hier sind ein paar moderne Referenzen, die die Konstruktion freier Felder (unter Zusammenfassung der meisten der oben genannten speziellen Beispiele) in großen mathematischen Details beschreiben, die direkt in diesen Rahmen passen:
(Hinweis für Kenner: In dieser eingeschränkten Situation ist die Quantisierung zufällig ein Funktor!)
Natürlich lässt sich noch viel mehr Literatur finden, indem man ausgehend von den obigen Referenzen im Zitationsnetzwerk vor und zurück wühlt.
Gregor Wochen