Bedeutung des hyperfiniten III1III1III_1-Faktors für die axiomatische Quantenfeldtheorie

Dieser Artikel von Yngvason ist wahrscheinlich ein guter Anfang:

Yngvason, J. (2005). Die Rolle von Typ-III-Faktoren in der Quantenfeldtheorie. Reports on Mathematical Physics, 55(1), 135–147. ( arxiv )

Die Typ-III-Eigenschaft sagt etwas über die statistische Unabhängigkeit aus. Lassen$\mathcal{O}$ein Doppelkegel sein, und lassen$\mathfrak{A}(\mathcal{O})$sei die zugehörige Algebra der Observablen. Unter der Annahme der Haag-Dualität haben wir$\mathfrak{A}(\mathcal{O}')'' = \mathfrak{A}(\mathcal{O})$. Wenn$\mathfrak{A}(\mathcal{O})$ist nicht vom Typ I, dem Hilbert-Raum$\mathcal{H}$des Systems zerfällt nicht als$\mathcal{H} = \mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2$Sodass$\mathfrak{A}(\mathcal{O})$wirkt auf den ersten Tensorfaktor, und$\mathfrak{A}(\mathcal{O}')$auf dem zweiten. Dies impliziert, dass man das System nicht in einem bestimmten Zustand vorbereiten kann, wenn man sich auf Messungen beschränkt$\mathcal{O}$unabhängig vom Zustand in der kausalen Ergänzung. Es sollte beachtet werden, dass, wenn die Aufteilungseigenschaft gilt, ein Typ-I-Faktor vorhanden ist$\mathfrak{N}$so dass$\mathfrak{A}(\mathcal{O}) \subset \mathfrak{N} \subset \mathfrak{A}(\widehat{\mathcal{O}})$für irgendeine Region$\mathcal{O} \subset \widehat{\mathcal{O}}$, ist eine etwas schwächere Eigenschaft verfügbar: ein Zustand kann vorbereitet werden$\mathcal{O}$unabhängig vom Bundesland$\widehat{\mathcal{O}}'$. Eine Veranschaulichung der Folgen finden Sie im obigen Artikel.

Eine weitere Konsequenz ist, dass die Borchers-Eigenschaft B automatisch gilt: Wenn$P$ist ein Vorsprung drin$\mathfrak{A}(\mathcal{O})$, dann gibt es eine gewisse Isometrie$W$in der gleichen Algebra so dass$W^*W = I$und$W W^* = P$. Dies impliziert, dass wir den Zustand lokal so modifizieren können , dass er ein Eigenzustand von ist$P$, indem Sie die Änderung vornehmen$\omega(A) \to \omega_W(A) = \omega(W^*AW)$. Beachten Sie, dass$\omega_W(P) = 1$und$\omega_W(A) = \omega(A)$zum$A$lokalisiert im kausalen Komplement von$\mathcal{O}$. Typ III$_1$impliziert etwas etwas Stärkeres, siehe den zitierten Artikel für weitere Details.

Zur ersten Frage kann man beweisen, dass die lokalen Algebren der Freifeldtheorien vom Typ III sind. Dies wurde von Araki in den 1960er Jahren durchgeführt. Referenzen finden Sie im oben genannten Artikel. Im Allgemeinen folgt die Typ-III-Bedingung aus natürlichen Annahmen über die beobachtbaren Algebren. Nicht-triviale Beispiele müssen wahrscheinlich in der konformen Feldtheorie gefunden werden, aber ich kenne keine Referenzen auf dem Kopf.

Zur ersten Frage. Wie Pieter schon für ein winkeltreues Netz gesagt hat$III_1$Eigentum gilt (falls nicht$\mathbb C$). Des Weiteren$e^{-\beta L_0}$Spurenklasse für alle zu sein$\beta>0$mit$L_0$der Generator der Drehungen impliziert die Split-Eigenschaft, die impliziert$\mathcal A(I)$das Hyperendliche sein$III_1$-Faktor.

bearbeiten Die Eigenschaft$III_1$und Trace-Klasse impliziert Split kann gefunden werden in - D'Antoni, Longo, Radulescu. Konforme Netze, Maximaltemperatur und Modelle aus freier Wahrscheinlichkeit [arXiv:math/9810003v1]