Andere Prozesse als formale Potenzreihenentwicklungen in Berechnungen der Quantenfeldtheorie

Mangelnde Konvergenz bedeutet nicht, dass man aus der Störungstheorie nichts mathematisch Strenges extrahieren kann. Man kann die Borel-Summierung verwenden. Tatsächlich wurde die Borel-Summierbarkeit der Störungstheorie für einige QFTs bewiesen:

1. von Eckmann-Magnen-Seneor für$P(\phi)$Theorien in 2D finden Sie in diesem Artikel .
2. von Magnen-Seneor für$\phi^4$in 3D finden Sie in diesem Artikel .
3. von Feldman-Magnen-Rivasseau-Seneor für Gross-Neveu in 2d, siehe diesen Artikel .

Tatsächlich erhalten diese Artikel solche Ergebnisse, indem sie eine Alternative zur gewöhnlichen Störungstheorie verwenden, die als Mehrskalen-(oder Phasenzellen- oder Phasenraum-)Clusterexpansion bezeichnet wird. Letzteres basiert auf kombinatorischen Strukturen, die Feynman-Diagramme nachahmen. Diese Erweiterungen konvergieren jedoch bei kleiner Kopplung.

Bearbeiten Sie gemäß Timurs Kommentar: Das Buch von Glimm und Jaffe ist das, was Sie lesen möchten, um zu verstehen, warum man Clustererweiterungen benötigt. Es ist hervorragend darin, das Gesamtbild zu vermitteln: wie axiomatische, euklidische, konstruktive QFTs zusammenpassen, sowie mit der Streutheorie. Aber um zu lernen, wie man eine Cluster-Erweiterung durchführt, ist das Buch veraltet. Die in GJ erläuterte Clustererweiterung ist die frühe, die von Glimm, Jaffe und Spencer in ihrem Artikel Annals of Math erfunden wurde. Es war das erste im QFT-Kontext und als solches eine ziemliche mathematische Meisterleistung. Seitdem (um 1973) wurden jedoch viele Verbesserungen und Vereinfachungen vorgenommen. Wenn Sie mehr über Clustererweiterungen im Jahr 2011 erfahren möchten, finden Sie hier einen effizienteren Weg:

• Erfahren Sie mehr über die Mayer-Erweiterung für das Polymergas: Eine kurze Einführung finden Sie unter "Zusätzliches Material" unten auf meiner Kurs-Webseite .
• Erfahren Sie mehr über die Einzelskalen-Clusterexpansion, dh die Steuerung der unendlichen Volumengrenze, wenn sowohl UV- als auch IR-Grenzwerte vorhanden sind: Sehen Sie sich den Artikel "Clustering Bounds on n-point Correlations for Unbounded Spin Systems" auf derselben Webseite an. Eine bereinigtere Version finden Sie in der veröffentlichten Version , die jedoch nicht frei zugänglich ist.
• Endlich der wahre McCoy: die Multiskalen-Cluster-Erweiterung, bei der man versucht, all das oben Genannte zu tun und die Cut-Offs zu entfernen. Dies ist so etwas wie eine unendliche Volumengrenze im Phasenraum. Hier gibt es keine einfache Referenz. Alle Darstellungen des Themas sind äußerst schwer zu lesen. Ich plane, in den nächsten Monaten einen pädagogischen Artikel darüber zu schreiben. In der Zwischenzeit könnten Sie Folgendes ausprobieren: das Buch von Rivasseau "From Perturbative to Constructive Renormalization", das Buch "Wavelets and Renormalization" von Battle und auch diesen kürzlich erschienenen Artikel von Unterberger (auf Französisch).

Ich denke, Sie stellen eine sehr wichtige Frage, aber ich denke, Sie lassen es trivialer klingen, als es ist. Der Punkt ist: Viele Physiker würden gerne alternative Erweiterungen haben, aber es ist sehr schwierig, eine zu finden. Wenn Sie Vorschläge haben, zögern Sie nicht, sie vorzubringen.

Die Standarderweiterung beginnt mit dem Zeitentwicklungsoperator$\mathcal{U}(t,t_0)$und ein Hamiltonian$\hat{H}$, die zusammen die Schrödinger-Gleichung bilden:

Das Integrieren ergibt,

Können Sie diese Erweiterung umgehen? Nun, manchmal gibt es einige störungsfreie Ansätze. Sie haben zum Beispiel den Bereich der exakt lösbaren Modelle. Diese beruhen auf dem Vorhandensein strenger Symmetriebeschränkungen. Beispiele sind bestimmte 2D-konforme Feldtheorien, in denen Korrelationsfunktionen Differentialgleichungen erfüllen. Diese Gleichungen entstehen aufgrund der Beschränkung auf die Operatoralgebra (das Vorhandensein sogenannter Nullzustände) und Ward-Identitäten, die mit der Symmetriealgebra verbunden sind, die die konforme Struktur umfasst. Mächtiges Zeug.

Andere Beispiele sind der Bethe-Ansatz und der algebraische Bethe-Ansatz. Soweit ich weiß, basieren diese Modelle auf der Konstruktion eines vollständigen Satzes von Eigenzuständen in einem Hilbert-Raum + Erweiterung ohne expliziten Verweis auf den Hamilton-Operator (was bedeutet, dass der Hamilton-Operator einigen Einschränkungen unterliegt, aber nicht explizit bekannt sein muss). Dies ist eine sehr leistungsfähige Technik und gilt für den gesamten Bereich der Kopplungskonstante. Das Erfordernis der Integrierbarkeit kann jedoch eine ziemliche Einschränkung darstellen.

AdS/CFT wurde ebenfalls erwähnt, was eine wunderbare schwach/starke Kopplungsdualität ist. Dies macht sich die Idee zunutze, dass die Korrelationsfunktionen für zwei scheinbar unterschiedliche Theorien gleich sind, die sich in der Dimensionalität und dem Vorhandensein von Schwerkraft unterscheiden. Gitterregularisierung funktioniert auch recht gut, soweit ich weiß.

Eine alternative Erweiterung zu Dysons Serie, die mir in den Sinn kommt, ist die Magnus-Erweiterung (siehe auch hier ). Der größte Vorteil dieser Erweiterung ist, dass sie einheitlich bleibt, wenn Sie die Serie irgendwo abschneiden. Aber ist es eine starke Alternative?

Meine Ansicht zu diesem Thema ist, dass eine neue Erweiterung oder ein neuer Ansatz sehr wohl das Nächstbeste seit geschnittenem Brot sein könnte.

Fragen Sie im Wesentlichen nach nicht-perturbativen Ansätzen für QFT? Gitter-QCD (basierend auf Monte-Carlo-Sampling) und verschiedene Dualitäten starker Kopplung/schwacher Kopplung (wie AdS/CFT ) fallen mir als prominenteste Beispiele ein.

Dies ist natürlich eher ein Hinweis als eine echte Antwort.

Ich denke, Sie sparen sich viel Zeit, wenn Sie sich eine Referenz ansehen wie: N. Nagaosa QFT in Condensed Matter Physics, pg 78, section 3.4 . Aus rechnerischer Sicht erklärt Ihnen "Lattice Gauge Theory and the Confinement Problem", warum Physiker, wenn sie daran interessiert sind, einen Cutoff in Energie oder Länge usw. einzuführen, sich mit wie vielen der unendlichen Freiheitsgrade des Originals befassen müssen Hamiltonoperatoren bleiben lokal auf dem Gitter intakt. Dabei lernen Sie, dass die Modellierung von Fermionen problematisch werden kann. Es ist schnell zu lesen und kann Ihnen helfen, Ihre Frage mit minimalem Zeitaufwand zu verfeinern.

In gewissem Sinne verstehe ich diese Ihre Frage in Bezug auf "mathematisch präzisere" Ansätze für QFT: Letztendlich impliziert Ihre Frage "nicht störende Definitionen von QFT" in der einen oder anderen Form - immerhin, wenn Sie ein anderes Werkzeug verwenden können, warum drehen Sie das Problem nicht um und definieren Ihre Theorie basierend darauf, wie Sie ein solches Werkzeug verwenden können?

In diesem Sinne gibt es eine Menge zu sagen, da es einige verschiedene Möglichkeiten gibt, eine QFT zu definieren (mit unterschiedlichen Ebenen der "mathematischen Strenge"):

• Axiomatische QFT, konstruktive QFT, algebraische QFT und lokale Quantenphysik (à la Haag);
• Funktionale Integration (à la Feynman Path Integrals; White Noise Calculus; usw.) und Annäherung von Erweiterungen (wo Ihre Frage natürlicher formuliert zu sein scheint);
• Scheitelpunktalgebren (VOAs, Borcherds Algebren) und CFTs;
• Eher probabilistische Ansätze, zB Schramm-Loewner-Gleichung;
• Chirale und Faktorisierungsalgebren;
• TFTs und Theorie höherer Kategorien;
• usw.

Die Verwendung von Serienerweiterungen ist also nur eine dieser Bemühungen – und in diesem Sinne gibt es andere Serien, die relevant sind, z. B. Large-N-Erweiterungen .

Auf der anderen Seite, wie oben gesagt, ist es wahr, dass es andere Methoden gibt, die der üblichen Vorgehensweise etwas hinzufügen könnten – indem Sie Ihrem Anliegen Ausdruck verleihen. Beispielsweise gibt es Möglichkeiten, den Raum zu diskretisieren, die mit differenziellen geometrischen Objekten (wie z$n$-Formen und so weiter; weitgehend unter dem Namen "Discrete Differential Geometry" oder "Geometric Discretization"), die in Gitterformulierungen von QFT verwendet werden könnten und derzeit nicht sind. Außerdem gibt es alle möglichen verschiedenen "Finite-Differenzen-Schemata" der Diskretisierung, die unterschiedliche Symmetrien des ursprünglichen Problems (diff eq) beibehalten, die verwendet werden könnten, um bestimmte Eigenschaften der Theorie zu beleuchten, aber eine Diskussion dieses Problems scheint dies nicht zu tun Funktion in der Gittergemeinschaft.

Olaf hat also am Ende eines Tages einen Punkt: Wenn Sie Vorschläge haben, machen Sie sie auf jeden Fall! ;-)