Nicht zufrieden mit "Trick" bei der Regularisierung der Zeta-Funktion

Ich bin nicht zufrieden mit den Erklärungen von

∑ N Protokoll ⁡ λ N = − D D S ∑ N λ N − S | S = 0
"Trick", der bei der Regularisierung von Zeta-Funktionen verwendet wird und hier und hier besprochen wird , oder die darin enthaltenen Referenzen. Wenn jemand eine Schritt-für-Schritt-Erklärung oder eine Referenz geben könnte, wenn die Erklärung komplizierter ist, als ich vermute, wäre das sehr dankbar.

Zum Spaß ist ein weiterer grundlegender Trick, der für die Entropie verwendet wird S = − T R ( ρ Protokoll ⁡ ρ ) = − D D S T R ( ρ S ) | S = 1

Antworten (1)

Betrachten Sie eine Funktion von S als

F ( S ) = 1 A S
Bilden Sie nun die Ableitung nach S :
F ' ( S ) = D D S A − S = − Protokoll ⁡ ( A ) A S
Was passiert bei S = 0 ?
F ' ( S = 0 ) = − Protokoll ⁡ ( A ) A 0 = − Protokoll ⁡ ( A )

Was passiert wenn A = A 0 + A 1 + A 2 + ⋯ (dh, S -unabhängige Konstanten)? Wir stecken einfach eine Summe ein:

F ( S ) = ∑ N 1 A N S
Was macht das mit der endgültigen Antwort? Nichts, wir können immer noch in der Summe bleiben:
F ' ( S = 0 ) = − ∑ N Protokoll ⁡ ( A N ) A N 0 = − ∑ N Protokoll ⁡ ( A N )

So erhalten wir unsere Beziehung,

D D S ∑ N λ N − S | S = 0 = − ∑ N Protokoll ⁡ ( λ N )

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