Zeta-Funktions-Regularisierung in QFT für Wärmekerne

Die Regularisierung von Zetafunktionen kann als analytische Regularisierung mit einer speziellen Wahl des Subtraktionsschemas betrachtet werden. Wie bei jeder anderen Regularisierung wird es mögliche Mehrdeutigkeiten geben, die, wenn sie nicht konsistent über eine Berechnung hinweg behandelt werden, die Ergebnisse eines naiven/minimalen Subtraktionsergebnisses falsch machen. Diese Mehrdeutigkeiten sollten jedoch immer durch einen endlichen Gegenbegriff erklärt werden können. ¹
Die Kunst der Regularisierung besteht also darin, ein konsistentes Subtraktionsschema einzurichten – entweder durch Verwendung einer konsistenten minimalen Subtraktion, durch Verwendung von Renormierungsbedingungen, einer R-Operation oder durch konsistente Verwendung einer impliziten Subtraktion wie der Regularisierung von Zeta-Funktionen. Wie Sie in Ihrer Frage angemerkt haben, ist letztere Option jedoch nicht immer so einfach.

Der Regularisierungsansatz der Zeta-Funktion für QFT-Berechnungen mit einer Schleife stammt aus der Beobachtung, dass$\partial_t H^{-t}|_{t\to0} = -\log(H)$. Dann ²

$$\begin{align} \log\det(H) &= \mathrm{tr}\log H := -\zeta'_H(0)\,, \\ \zeta_H(s) &= \mathrm{tr} H^{-s} = \frac1{\Gamma(s)}\int_0^\infty\mathrm{d}t\, t^{s-1}\mathrm{tr}(\exp(-H t)) \end{align}$$ Der Wärmekern ist $K(x,x'|t) = \exp(-H t)\delta(x,x')$und seine Spur zu nehmen, beinhaltet das Setzen $x' \to x$und Integration über die gesamte Raumzeit $x$(und die Spur über alle Gruppen- oder Geschmacksindizes nehmen). Oft wird das Raum-Zeit-Integral nicht so ausgeführt, wie Sie die Antwort als effektive Aktion wünschen.
$\zeta_H$heißt die Zeta-Funktion von $H$seit $$\zeta_H(s) = \mathrm{tr} H^{-s} = \sum_{n} \lambda_n^{-s} \,,$$ bei dem die $\lambda_n$sind die Eigenwerte von $H$. $\zeta_H(s)$ist im Grunde nur das analytisch regularisierte Integral mit einer Schleife, und Sie können es genauso gut in Potenzen erweitern $s$um den divergenten Teil zu extrahieren ( $s^{-1}$), der endliche Teil ( $s^0$) und die Begriffe, die als verschwinden $s\to0$. Die Regularisierung der Zeta-Funktion gibt nur die zurück $s^0$Teil und wirft den Rest weg - wie Sie in Ihrer Frage angemerkt haben, ist nicht immer garantiert, dass dies in allen Fällen und in jeder Reihenfolge funktioniert. Es gibt keinen Grund zu der Annahme, dass das implizite Subtraktionsschema der Zeta-Funktions-Regularisierung besser ist als jedes andere Subtraktionsschema für die analytische Regularisierung.

Normalerweise die Koinzidenzgrenze$x'\to x$erfolgt vor dem Eigenzeitintegral, da es die Dinge einfacher macht. Außerdem wird der Wärmekern oft über den Impulsraum berechnet, und dann ist es möglich, das Impulsintegral bis nach dem Eigenzeitintegral zu belassen - das bedeutet, dass Sie nie einen Ortsraumausdruck für den Wärmekern haben, aber es kann auch die Berechnungen vereinfachen. Wenn durch unterschiedliche Operationsreihenfolgen unterschiedliche Ergebnisse erzielt werden, liegt eine Art bedingte Konvergenz vor, die nicht durch Ihr Regularisierungsschema festgelegt wird.

Das Ergebnis einer regulären Zeta-Funktionsberechnung oder einer anderen renormierten QFT-Berechnung sollte nicht als korrekt angesehen werden, es sei denn, es erfüllt eine vernünftige Auswahl physikalisch motivierter Renormierungsbedingungen (und Ward-Identitäten usw.). Jedes andere Subtraktionsschema ist lediglich ein bequemes Zwischenergebnis.

Schließlich, wie in https://physics.stackexchange.com/a/13045/429 erwähnt , der Trick des Schreibens$\log H$als Ableitung von einigen$H^{-n}$ist nicht einzigartig. Diese Nicht-Eindeutigkeit kann verwendet werden, um die Mehrdeutigkeit der Zeta-Regularisierung zu parametrisieren, so dass verschiedene Verfahren verglichen und Renormierungsbedingungen leichter durchgesetzt werden können. Die Unzulänglichkeit der naiven "Zeta-Funktions"-Regularisierung von Wärmekernen wird in Berechnungen mit höheren Schleifen deutlich.

_{1. Abgesehen davon habe ich Berechnungen durchgeführt, bei denen die Mehrdeutigkeit in einem endlichen Term (Dimension mit höherer Masse) auftritt, der in der klassischen Aktion nicht vorhanden ist und auch nicht durch einen renormierbaren Gegenterm korrigiert werden kann. Diese Mehrdeutigkeit, die sich in einem endlichen Begriff befindet, kommt von der bedingten Konvergenz in den Integralen mit einer Schleife, entweder in ihrer ungeregelten oder in ihrer geregelten Form. In solchen Fällen bin ich mir nicht sicher, wie ich mit den Unklarheiten umgehen soll...}

_{2. Alle Gleichheitszeichen sind mit Vorsicht zu genießen. Sie hängen vom Regularisierungs- und Renormalisierungsschema usw. ab.}

Wann immer wir die Spur des Wärmekerns auswerten müssen, können wir die WKB-Näherung für die Theta-Funktion = Spur des Wärmekerns verwenden, nämlich für das eindimensionale Modell

$Trace(exp(-tH))= \sum _{n=0}^{\infty}exp(-tE_{n})= \iint_{R}dpdxexp(-tp^{2}-tV(x))$