Eichinvarianz nicht-Abelscher Theorien unter Pauli-Villars-Regularisation

Im abelschen Fall geht der Photonenpropagator unter Pauli-Villars-Regularisierung als

$$\frac{1}{k^2}\rightarrow\frac{1}{k^2}- \frac{1}{k^2-{\Lambda^2}}$$ das ist im Grunde $1/(k^2- \Lambda^{-2}k^4)$. Das Vorhandensein des zusätzlichen Terms im Propagator kann erhalten werden, indem der Lagrange durch einen zusätzlichen Term ergänzt wird $$\frac{1}{2\Lambda^2}\Box A_\mu\Box A^\mu$$ die mit Lorenzlehre umgewandelt werden kann $$\frac{1}{2\Lambda^2}\partial^\nu F_{\nu\mu}\partial_\sigma F^{\sigma\mu}$$ als $$\partial_\sigma F^{\sigma\mu}=\partial_\sigma(\partial^\sigma A^\mu-\partial^\mu A^\sigma)$$ und unter Verwendung der Lorenz-Eichung kann der zweite Term weggelassen werden. Jetzt der Ausdruck $\frac{1}{2\Lambda^2}\partial^\nu F_{\nu\mu}\partial_\sigma F^{\sigma\mu}$ist U(1) invariant als $F^{\nu\mu}$ist U (1) invariant, so dass die Pauli-Villars-Regularisierung die Eichinvarianz im abelschen Fall bewahrt.

Im Fall von Yang-Mills ist ein Begriff wie$\frac{1}{2\Lambda^2}\Box A_\mu\Box A^\mu$verletzt die Eichinvarianz aufgrund des Vorhandenseins einer einfachen Ableitung anstelle von kovarianten Ableitungen. Es ist nicht möglich, diesen Term durch irgendeine Eichtransformation in eine Form umzuwandeln, die eine explizite Eichung hat$covariance$. Die Eichinvarianz kann nur erhalten werden, indem der Lagrange-Operator für den Yang-Mills-Fall, der nicht aus dem Pauli-Villars-Verfahren folgt, geeignet modifiziert wird.

Das Erfordernis der kovarianten Ableitung im nicht-Abelschen Fall für die Eichinvarianz ergibt sich aus der Tatsache, dass sich die Yang-Mills-Feldstärke im nicht-Abelschen Fall homogen unter der Eichtransformation als transformiert$F\rightarrow UFU^{-1}$im Gegensatz zum abelschen Fall, wo es eichinvariant ist. Die kovariante Ableitung hat das gleiche Transformationsgesetz wie das Feld unter Eichtransformation wie$D\rightarrow UDU^{-1}$, also die Kombination$D_\mu F_{\mu\nu}$homogen transformieren, was nicht der Fall ist, wenn wir eine partielle Ableitung anstelle einer kovarianten Ableitung verwenden. Unter einem Spurterm im Lagrange, der einige Terme wie diesen enthält, kann man die zyklische Eigenschaft der Spur verwenden, um zu zeigen, dass der Term (wie der unten erwähnte) von der Eichtransformation nicht beeinflusst wird.

Ein Erfordernis eines eichinvarianten Terms in der Lagrange-Funktion wird einen höheren kovarianten Ableitungsterm wie beinhalten$tr(\frac{1}{\Lambda^2}D_\alpha F_{\mu\nu}D_\alpha F_{\mu\nu})$.

Diese modifizierte Form der Pauli-Villars-Regularisierung wurde von AA Slavnov in Nucl. Phys. B, 31, 301 (1971).